описание, примеры, форматы, достоинства и недостатки

Математика буквально пронизана гармонией, и графика фрактальная – прямое тому подтверждение. Наука присутствует при создании каждого ее элемента, поэтому она отражает всю красоту.

Создатель фрактальной геометрии, профессор Мальдерброт, писал в своих книгах, что рассматриваемая графика представляет собой не просто повторяющиеся изображения. Это – структура любого существа или объекта на планете, живого и неживого. К примеру, ДНК является основой, одной интеграцией. Но если код начинает повторяться, тогда появляется человек.

Основы фрактальной графики

Что такое фрактальная графика? Это одна или несколько геометрических фигур, каждая из которых подобна другой. То есть, изображение составляется из одинаковых частей.

Само слово «фрактал» может употребляться, если фигура обладает одним или несколькими из этих свойств:

• Нетривиальная структура. Когда рассматривается небольшая деталь всего изображения, то фрагмент схож со всем рисунком. Увеличение масштаба не приводит к ухудшению. Изображение всегда остается одинаково сложным.
• Каждая часть рисунка является самоподобной.
• Имеется математическая размерность.
• Строится при помощи повторения.

Множество объектов природного или искусственного происхождения наделяются свойствами фракталов. К ним относятся кровеносные системы человека и животного, кроны и корни деревьев и так далее.

Фрактальная компьютерная графика становится популярной потому, что добиться красоты и реалистичности можно посредством простого построения при помощи соответствующего оборудования. Нужно только задать правильную математическую формулу и указать количество повторений.

Как создать элемент фрактальной графики?

Создание фрактальной графики будет различаться в зависимости от ее классификации: геометрическая, алгебраическая или стохастическая. Несмотря на разницу, итог всегда будет одинаковым. Поскольку фрактальная графика начинается с геометрии, то следует рассмотреть ее создание на соответствующем примере:

1. Задают условие. Это фигура, на основе которой будет строиться все изображение.
2. Задают процедуру. Она преобразует условие.
3. Получают геометрический фрактал.

Обычно нулевое условие представляется в виде треугольника.

Чтобы построить изображение, нужно применить две процедуры. Во-первых, DrawTriangle. Она строит треугольник по точкам, заданным пользователем. Во-вторых, DrawGenerator. Она указывает количество точек. Каждая процедура может повторяться несколько раз или бесконечно долго. Для определения этого показателя применяется численный аргумент n.

Другие действия с фрактальной графикой

После того как элемент фрактальной графики был создан, с ним можно производить различные дополнительные действия:

• Повороты и растяжения. Так увеличиваются отдельные детали рисунка, либо они принимают нужную пользователю форму.
• Группирование объектов. Обычно эта функция применяется для того, чтобы назначить требуемый масштаб.
• Преобразование цветов. Изображение можно окрасить в любой оттенок, задать тон.
• Изменение формы всего объекта или отдельных деталей.

Нужно помнить, что изображения фрактальной графики в конечном итоге предсказать невозможно. Когда треугольник слишком увеличивается, то просмотр будет нереальным, пользователь увидит только черное окно. Когда желаемая текстура обнаружена, все изменения с ней нужно проводить в минимальном порядке, постоянно сохраняя допустимый вариант.

Программы для генерации

Нет такого человека, которого бы не привлекала фрактальная графика. Программы, участвующие в ее создании, представлены в большом количестве. Поэтому надо разобраться в наиболее подходящих для новичков.

Продукт Art Dabbler представляет собой лучший вариант, если пользователь раньше не имел дело с его аналогами. Здесь можно не только освоить графику, но и научиться рисовать на компьютере. К другим преимуществам следует отнести небольшое количество занимаемой памяти и интуитивно понятный интерфейс.

Другая программа – Ultra Fractal. Она уже ориентирована на работу профессионалов, новичкам сложно будет в ней разобраться. Интерфейс здесь достаточно сложный, но производители выполнили его на примере обычного Photoshop. Если пользователь имел дело с этой программой, то в кнопках разберется быстро. Особенность Ultra Fractal заключается в том, что здесь выполняется не только графика фрактальная в качестве стандартного и обычного изображения, но и анимация. Формулы для составления прилагаются, но при необходимости пользователь сможет задействовать свою.

Существующие форматы

Форматы фрактальной графики определяют форму и способ хранения файловых данных. Некоторые из них включают в себя большой объем информации. Поэтому их необходимо сжимать. Причем делать это не посредством архивирования, а непосредственно в файле. Если правильно его выбрать, то сжатие будет происходить автоматически. Есть несколько алгоритмов этой процедуры.

Если перед пользователем аппликация, большая часть которой выдержана в одном цвете, то разумно использовать форматы BMP и PCX. Здесь заменяется последовательность повторяющихся величин.

Диаграмму, которая очень редко, но все-таки используется во фрактальной графике, логично поместить в TIFF или GIF.

Часть форматов является универсальной. То есть, их можно просмотреть в большинстве редакторов. Но если пользователю важна качественная обработка изображений, тогда нужно применять оригинальную программу.

Форматы фракталы не поддерживаются браузерами. Именно поэтому осуществляется их преображение, если есть необходимость загрузить на тот или иной сайт.

Сферы применения

Применение фрактальной графики можно назвать фактически повсеместным. Более того, эта область постоянно расширяется. На данный момент можно отметить следующие области:

1. Компьютерная графика. Реалистично изображаются рельефы и природные объекты. Это применяется в создании компьютерных игр.
2. Анализ фондовых рынков. Фракталы здесь используются для того, чтобы отметить повторения, которые впоследствии сыграют трейдерам на руку.
3. Естественные науки. В физике с помощью фрактальной графики моделируются нелинейные процессы. В биологии она описывает строение кровеносной системы.
4. Сжатие изображений, чтобы уменьшить объем информации.
5. Создание децентрализованной сети. Посредством фракталов удается обеспечить прямое подключение, а не через центральное регулирование. Поэтому сеть становится более устойчивой.

На данный момент практикуется применение фракталов в производстве различного оборудования. Например, уже запущен конвейер по созданию антенн, отлично принимающих сигналы.

Примеры

Примеры фрактальной графики распространены от примитивных до очень сложных повторяющихся элементов. Уникальной особенностью данного типа является то, что рисунок можно составить исключительно из восклицательных или вопросительных знаков.

Стандартными, но относительно сложными примерами компьютерной фрактальной графики являются облака, горы, морские побережья и так далее. Их зачастую используют при создании игр.

Самым простым примером можно назвать кривую Коха. Во-первых, она не имеет конкретной длины, и ее называют бесконечной. Во-вторых, здесь полностью отсутствует гладкость. Поэтому невозможно построить касательную.

Плюсы и минусы

Свое распространение совсем недавно заполучила фрактальная графика. Достоинства и недостатки ее слишком размыты, поскольку отсутствует нормальная теоретическая база. Терминология и принципы ее использования до конца не изучены, несмотря на то, что они действенные и рабочие.

Достоинства фрактальной графики заключаются в нескольких факторах:

1. Небольшой размер при масштабном рисунке.
2. Нет конца масштабированию, сложность картинки можно увеличивать бесконечно.
3. Нет другого такого же инструмента, который позволит создавать сложные фигуры.
4. Реалистичность.
5. Простота в создании работ.

Недостатки фрактальной графики тоже присутствуют. Во-первых, без компьютера здесь не обойтись. Причем, чем длиннее количество повторений, тем больше загружается процессор. Соответственно, только качественное компьютерное оборудование способно справиться с построением сложных изображений.

Во-вторых, присутствуют ограничения в исходных математических фигурах. Некоторые изображения создать посредством фракталов не удастся.

Сходства и различия между фракталом и вектором

Векторная и фрактальная графика очень различаются между собой:

1. По кодированию изображений. Вектор задействует контуры разных геометрических фигур, фрактал – математическую формулу, в основе которой лежит треугольник.
2. По применению. Вектор используют везде, где нужно получить четкий контур. Фрактальная графика более специализирована, она нашла свое применение в математике и искусстве.
3. По аналогам. Векторными аналогами являются слайды или функции на графиках. У фракталов это – снежинки или кристаллы.

Несмотря на многообразие отличительных черт, эти два вида графики объединяет качество изображения. Оно остается неизменным, независимо от уровня масштабирования.

Трехмерная, векторная, растровая, фрактальная графика схожи в одном – все они широко используются в решении различных компьютерных задач. Чтобы получить действительно качественное изображение, нужно задействовать каждую из них.

Уникальные особенности фракталов

Графика фрактальная не имеет аналогов. Она уникальна в своем роде. Во-первых, один ее небольшой участок может рассказать сразу обо всем рисунке или изображении. Информация обо всем фрактале доступна, т.к. он является самоподобным.

В центре любого изображения, относящегося к данному типу графики, располагается равносторонний треугольник. Все остальные детали рисунка являются либо его частями, либо уменьшенными/увеличенными копиями. То есть, в составлении изображения принимает участие один конкретный элемент.

Для того чтобы использовать фрактальную графику, не нужны никакие объекты, хранящиеся в памяти компьютера. Приступить к созданию можно, имея под рукой одну только математическую формулу.

Заключение

Графика фрактальная очень реалистична. Происходит это потому, что ее детали и элементы постоянно встречаются в окружении человека – горы, облака, морские берега, различные природные явления. Часть из них остается постоянно в одном и том же состоянии, вроде деревьев, каменистых участков. Остальные же непрерывно меняются, как мерцающее огненное пламя или кровь, двигающаяся по сосудам.

Развитие фрактальных технологий на сегодняшний день – одна из прогрессирующих областей науки. Она используется не только в компьютерной графике. Возможно, если ученым удастся докопаться до их сути, человек начнет намного лучше понимать этот мир.

Фрактальная графика

Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся и перспективных видов компьютерной графики.

Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от, так называемых, «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.

Понятия фрактал, фрактальная геометрия и фрактальная графика, появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово фрактал образовано от латинского «fractus» и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандель-Бротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. Объект называют самоподобным, когда увеличенные части объекта походят на сам объект и друг на друга. Перефразируя это определение, можно сказать, что в простейшем случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.

В центре фрактальной фигуры находится её простейший элемент — равносторонний треугольник, который получил название «фрактальный». Затем, на среднем отрезке сторон строятся равносторонние треугольники со стороной, равной (1/3a) от стороны исходного фрактального треугольника. В свою очередь, на средних отрезках сторон полученных треугольников, являющихся объектами-наследниками первого поколения, выстраиваются треугольники-наследники второго поколения со стороной (1/9а) от стороны исходного треугольника.

Таким образом, мелкие элементы фрактального объекта повторяют свойства всего объекта. Полученный объект носит название «фрактальной фигуры». Процесс наследования можно продолжать до бесконечности. Таким образом можно описать и такой графический элемент как прямая.

Изменяя и комбинирую окраску фрактальных фигур, можно моделировать образы живой и неживой природы (например, ветви дерева или снежинки), а также составлять из полученных фигур «фрактальную композицию». Фрактальная графика, так же как векторная и трёхмерная, является вычисляемой. Её главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому в памяти компьютера для выполнения всех вычислений ничего, кроме формулы, хранить не требуется.

Только изменив коэффициенты уравнения, можно получить совершенно другое изображение. Эта идея нашла использование в компьютерной графике благодаря компактности математического аппарата, необходимого для ее реализации. Так, с помощью нескольких математических коэффициентов можно задать линии и поверхности очень сложной формы.

Итак, базовым понятием для фрактальной компьютерной графики являются «Фрактальный треугольник». Затем идет «Фрактальная фигура», «Фрактальный объект», «Фрактальная прямая», «Фрактальная композиция», «Объект-родитель» и «Объект наследник».

Следует обратить внимание на то, что фрактальная компьютерная графика как вид компьютерной графики двадцать первого века получила широкое распространение не так давно.

Её возможности трудно переоценить. Фрактальная компьютерная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать множество приёмов: горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию и др. Сегодня немногие компьютерщики в нашей стране и за рубежом знают фрактальную графику. С чем можно сравнить фрактальное изображение? Ну, например, со сложной структурой кристалла, со снежинкой, элементы которой выстраивается в одну сложную композицию. Это свойство фрактального объекта может быть удачно использовано для создания орнамента или декоративной композиции. Сегодня разработаны алгоритмы синтеза коэффициентов фрактала, позволяющего воспроизвести копию любой картинки сколь угодно близкой к исходному оригиналу.

С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически, благодаря фрактальной графике, найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Геометрические фракталы на экране компьютера — это узоры, построенные самим компьютером по заданной программе. Помимо фрактальной живописи существуют фрактальная анимация и фрактальная музыка.

Создатель фракталов — это художник, скульптор, фотограф, изобретатель и ученый в одном лице. Вы сами задаете форму рисунка математической формулой, исследуете сходимость процесса, варьируя его параметры, выбираете вид изображения и палитру цветов, то есть творите рисунок «с нуля». В этом одно из отличий фрактальных графических редакторов (и в частности — Painter) от прочих графических программ.

Например, в Adobe Photoshop изображение, как правило, «с нуля» не создается, а только обрабатывается. Другой самобытной особенностью фрактального графического редактора Painter (как и прочих фрактальных программ, например, Art Dabbler) является то, что реальный художник, работающий без компьютера, никогда не достигнет с помощью кисти, карандаша и пера тех возможностей, которые заложены в Painter программистами.

Фрактальная графика

На сегодня фрактальная графика очень быстро развивается и весьма популярна и перспективна. Основой фрактальной графики является геометрия. Основным методом создания изображений является принцип наследственности от геометрического свойства наследников.

Фрактал — это структура, которая состоит из частей, подобных целому. Его основное свойство — самоподобие. Объекты, называют самоподобными, если части объекта после увеличения, остаются похожими друг на друга.

Центром фрактальной фигуры является её простейший элемент — треугольник с равными сторонами, который назвали «фрактальный». На середине сторон треугольника строят такие же равносторонние треугольники, которые равны одной третьей стороны исходной фигуры. Затем, на треугольниках первого поколения выстраивают треугольники второго поколения, но уже со стороной равно одной девятой от стороны центрального треугольника. Этот процесс можно продолжать нескончаемое число раз.

Изменение и комбинируя окраски фрактальных фигур, возможно, проектировать живые или неживые природные образы, такие как снег или же деревья, ветви, листья. Составлять фрактальную композицию. Изображения фрактальной графики состоят из уравнений или по системе уравнений. Фрактальная графика — это вычисление. Для того, что выполнять изображения такой графики, компьютеру нужно хранить только формулу или алгоритм, по которой производятся вычисления. Заменив коэффициенты уравнения, можем создать абсолютно другое изображение, а при использовании сразу нескольких коэффициентов одновременно, можно создать линии или поверхность самого сложной формы.

Фрактальная графика 21 века стала популярной совсем недавно, в ней используются такие понятия, как: фрактальные треугольники, фигуры, объекты прямые и композиции. А так же «Объекты-родители» и «Объекты-наследники». Все эти понятия играют свою роль в создании изображения.

При помощи фрактальной компьютерной графики создаются абстрактные композиции, реализующие такие приемы композиции как линии горизонтальные и вертикальные, любые направления диагоналей, различные симметричные и асимметричные. Немногие российские и зарубежные программисты, и компьютерные дизайнеры знакомы с фрактальной графикой.

Объекты фрактальной графики по структуре можно сравнивать со сложными структурами кристалликов льда или снежинок. Используя эти уникальные свойства фрактальной графики можно создавать декоративные орнаменты. Разработанные великими умами алгоритмы и уравнения для синтеза коэффициентов фрактальных рисунков, позволяют создать картинки, близкие по сходству с оригиналом, то есть клонировать картинку, причем неограниченное количество раз.

В машинной графике использование фрактальной геометрии незаменимо при создании искусственных облаков, поверхности моря или гор. Только благодаря фрактальной графике был создан способ реализации сложных объектов, которые по образу очень похожи на природу. Геометрические фракталы на мониторе компьютера — это построенные по заданной программе узоры.

Создателями фракталов является человек разносторонний, владеющий несколькими профессиями сразу. Он должен быть одновременно и художником, и скульптором, и фотографом. Создавая рисунок свои руками, вы пользуясь математической формулой сам задаете ту форму изображения, которая вам нужна. Подстраиваете параметры, выбираете, каким рисунок будет по виду, какого цвета. Отличие фрактальной графики от других редакторов графики, например Photoshop, заключается в том, что вы создаете свой уникальный рисунок с «ноля».

В Photoshop невозможно создать рисунок, его можно лишь отредактировать или отформатировать, придать ему необходимый цвет, размер, улучшить качество и сгладить недостатки. Отличительной чертой редактора Painter считается то, что художник, в реале работающий без помощи компьютера, не сможет, используя кисть, перо или карандаш, тех же возможностей, что даны в Painter.

На сегодняшний день является второй по росту популярности из четырёх видов компьютерной графики (далее КГр).

Так же есть Растровая и Векторная . Одна – для создания фотореалистичных изображений; Другая – для создания сложных геометрических объектов; и Трёхмерная – как отдельный вид от предыдущих для создания объёмных зрительно-подобных изображений и объектов.

Фрактал – основа Фрактальной графики, это математически построенная фигура, являющаяся частью точной её копии в разы большей, чем одна часть. В свою очередь, большая фигура является частью еще большей.

Чтобы было лучше понять, представьте треугольник, состоящий из трёх треугольников, каждый из которых состоит из 3-х меньших и т.д. Таким образом получается матрёшка, где одна копия встроена в большую копию. Но это не значит, что всё изображение будет однообразным. Далее из таких треугольников, можно состряпать куда более сложную композицию, походящую на естественный объект встречающийся в повседневной жизни. Процесс наследования можно продолжать до бесконечности, без увеличения размера файла.

Посему мы не могли не заметить, как сильно схожи Фрактальная и Векторная графики. Обе имеют в своей базе данных файла информацию о мате

примеры, форматы, плюсы и минусы

Математика буквально пронизана гармонией, и графика фрактальная – прямое тому подтверждение. Наука присутствует при создании каждого ее элемента, поэтому она отражает всю красоту.

Создатель фрактальной геометрии, профессор Мальдерброт, писал в своих книгах, что рассматриваемая графика представляет собой не просто повторяющиеся изображения. Это – структура любого существа или объекта на планете, живого и неживого. К примеру, ДНК является основой, одной интеграцией. Но если код начинает повторяться, тогда появляется человек.

Основы фрактальной графики

Что такое фрактальная графика? Это одна или несколько геометрических фигур, каждая из которых подобна другой. То есть, изображение составляется из одинаковых частей.

Само слово «фрактал» может употребляться, если фигура обладает одним или несколькими из этих свойств:

• Нетривиальная структура. Когда рассматривается небольшая деталь всего изображения, то фрагмент схож со всем рисунком. Увеличение масштаба не приводит к ухудшению. Изображение всегда остается одинаково сложным.
• Каждая часть рисунка является самоподобной.
• Имеется математическая размерность.
• Строится при помощи повторения.

Множество объектов природного или искусственного происхождения наделяются свойствами фракталов. К ним относятся кровеносные системы человека и животного, кроны и корни деревьев и так далее.

Фрактальная компьютерная графика становится популярной потому, что добиться красоты и реалистичности можно посредством простого построения при помощи соответствующего оборудования. Нужно только задать правильную математическую формулу и указать количество повторений.

Как создать элемент фрактальной графики?

Создание фрактальной графики будет различаться в зависимости от ее классификации: геометрическая, алгебраическая или стохастическая. Несмотря на разницу, итог всегда будет одинаковым. Поскольку фрактальная графика начинается с геометрии, то следует рассмотреть ее создание на соответствующем примере:

1. Задают условие. Это фигура, на основе которой будет строиться все изображение.
2. Задают процедуру. Она преобразует условие.
3. Получают геометрический фрактал.

Обычно нулевое условие представляется в виде треугольника.

Чтобы построить изображение, нужно применить две процедуры. Во-первых, DrawTriangle. Она строит треугольник по точкам, заданным пользователем. Во-вторых, DrawGenerator. Она указывает количество точек. Каждая процедура может повторяться несколько раз или бесконечно долго. Для определения этого показателя применяется численный аргумент n.

Другие действия с фрактальной графикой

После того как элемент фрактальной графики был создан, с ним можно производить различные дополнительные действия:

• Повороты и растяжения. Так увеличиваются отдельные детали рисунка, либо они принимают нужную пользователю форму.
• Группирование объектов. Обычно эта функция применяется для того, чтобы назначить требуемый масштаб.
• Преобразование цветов. Изображение можно окрасить в любой оттенок, задать тон.
• Изменение формы всего объекта или отдельных деталей.

Нужно помнить, что изображения фрактальной графики в конечном итоге предсказать невозможно. Когда треугольник слишком увеличивается, то просмотр будет нереальным, пользователь увидит только черное окно. Когда желаемая текстура обнаружена, все изменения с ней нужно проводить в минимальном порядке, постоянно сохраняя допустимый вариант.

Программы для генерации

Нет такого человека, которого бы не привлекала фрактальная графика. Программы, участвующие в ее создании, представлены в большом количестве. Поэтому надо разобраться в наиболее подходящих для новичков.

Продукт Art Dabbler представляет собой лучший вариант, если пользователь раньше не имел дело с его налогами. Здесь можно не только освоить графику, но и научиться рисовать на компьютере. К другим преимуществам следует отнести небольшое количество занимаемой памяти и интуитивно понятный интерфейс.

Другая программа – Ultra Fractal. Она уже ориентирована на работу профессионалов, новичкам сложно будет в ней разобраться. Интерфейс здесь достаточно сложный, но производители выполнили его на примере обычного Photoshop. Если пользователь имел дело с этой программой, то в кнопках разберется быстро. Особенность Ultra Fractal заключается в том, что здесь выполняется не только графика фрактальная в качестве стандартного и обычного изображения, но и анимация. Формулы для составления прилагаются, но при необходимости пользователь сможет задействовать свою.

Существующие форматы

Форматы фрактальной графики определяют форму и способ хранения файловых данных. Некоторые из них включают в себя большой объем информации. Поэтому их необходимо сжимать. Причем делать это не посредством архивирования, а непосредственно в файле. Если правильно его выбрать, то сжатие будет происходить автоматически. Есть несколько алгоритмов этой процедуры.

Если перед пользователем аппликация, большая часть которой выдержана в одном цвете, то разумно использовать форматы BMP и PCX. Здесь заменяется последовательность повторяющихся величин.

Диаграмму, которая очень редко, но все-таки используется во фрактальной графике, логично поместить в TIFF или GIF.

Часть форматов является универсальной. То есть, их можно просмотреть в большинстве редакторов. Но если пользователю важна качественная обработка изображений, тогда нужно применять оригинальную программу.

Форматы фракталы не поддерживаются браузерами. Именно поэтому осуществляется их преображение, если есть необходимость загрузить на тот или иной сайт.

Сферы применения

Применение фрактальной графики можно назвать фактически повсеместным. Более того, эта область постоянно расширяется. На данный момент можно отметить следующие области:

1. Компьютерная графика. Реалистично изображаются рельефы и природные объекты. Это применяется в создании компьютерных игр.
2. Анализ фондовых рынков. Фракталы здесь используются для того, чтобы отметить повторения, которые впоследствии сыграют трейдерам на руку.
3. Естественные науки. В физике с помощью фрактальной графики моделируются нелинейные процессы. В биологии она описывает строение кровеносной системы.
4. Сжатие изображений, чтобы уменьшить объем информации.
5. Создание децентрализованной сети. Посредством фракталов удается обеспечить прямое подключение, а не через центральное регулирование. Поэтому сеть становится более устойчивой.

На данный момент практикуется применение фракталов в производстве различного оборудования. Например, уже запущен конвейер по созданию антенн, отлично принимающих сигналы.

Примеры

Примеры фрактальной графики распространены от примитивных до очень сложных повторяющихся элементов. Уникальной особенностью данного типа является то, что рисунок можно составить исключительно из восклицательных или вопросительных знаков.

Стандартными, но относительно сложными примерами компьютерной фрактальной графики являются облака, горы, морские побережья и так далее. Их зачастую используют при создании игр.

Самым простым примером можно назвать кривую Коха. Во-первых, она не имеет конкретной длины, и ее называют бесконечной. Во-вторых, здесь полностью отсутствует гладкость. Поэтому невозможно построить касательную.

Плюсы и минусы

Свое распространение совсем недавно заполучила фрактальная графика. Достоинства и недостатки ее слишком размыты, поскольку отсутствует нормальная теоретическая база. Терминология и принципы ее использования до конца не изучены, несмотря на то, что они действенные и рабочие.

Достоинства фрактальной графики заключаются в нескольких факторах:

1. Небольшой размер при масштабном рисунке.
2. Нет конца масштабированию, сложность картинки можно увеличивать бесконечно.
3. Нет другого такого же инструмента, который позволит создавать сложные фигуры.
4. Реалистичность.
5. Простота в создании работ.

Недостатки фрактальной графики тоже присутствуют. Во-первых, без компьютера здесь не обойтись. Причем, чем длиннее количество повторений, тем больше загружается процессор. Соответственно, только качественное компьютерное оборудование способно справиться с построением сложных изображений.

Во-вторых, присутствуют ограничения в исходных математических фигурах. Некоторые изображения создать посредством фракталов не удастся.

Сходства и различия между фракталом и вектором

Векторная и фрактальная графика очень различаются между собой:

1. По кодированию изображений. Вектор задействует контуры разных геометрических фигур, фрактал – математическую формулу, в основе которой лежит треугольник.
2. По применению. Вектор используют везде, где нужно получить четкий контур. Фрактальная графика более специализирована, она нашла свое применение в математике и искусстве.
3. По аналогам. Векторными аналогами являются слайды или функции на графиках. У фракталов это – снежинки или кристаллы.

Несмотря на многообразие отличительных черт, эти два вида графики объединяет качество изображения. Оно остается неизменным, независимо от уровня масштабирования.

Трехмерная, векторная, растровая, фрактальная графика схожи в одном – все они широко используются в решении различных компьютерных задач. Чтобы получить действительно качественное изображение, нужно задействовать каждую из них.

Уникальные особенности фракталов

Графика фрактальная не имеет аналогов. Она уникальна в своем роде. Во-первых, один ее небольшой участок может рассказать сразу обо всем рисунке или изображении. Информация обо всем фрактале доступна, т.к. он является самоподобным.

В центре любого изображения, относящегося к данному типу графики, располагается равносторонний треугольник. Все остальные детали рисунка являются либо его частями, либо уменьшенными/увеличенными копиями. То есть, в составлении изображения принимает участие один конкретный элемент.

Для того чтобы использовать фрактальную графику, не нужны никакие объекты, хранящиеся в памяти компьютера. Приступить к созданию можно, имея под рукой одну только математическую формулу.

Заключение

Графика фрактальная очень реалистична. Происходит это потому, что ее детали и элементы постоянно встречаются в окружении человека – горы, облака, морские берега, различные природные явления. Часть из них остается постоянно в одном и том же состоянии, вроде деревьев, каменистых участков. Остальные же непрерывно меняются, как мерцающее огненное пламя или кровь, двигающаяся по сосудам.

Развитие фрактальных технологий на сегодняшний день – одна из прогрессирующих областей науки. Она используется не только в компьютерной графике. Возможно, если ученым удастся докопаться до их сути, человек начнет намного лучше понимать этот мир.

Лекция по теме «Фрактальная графика»

«Фракталы в нашей жизни»

При слове «геометрия» у нас из глубин памяти всплывают цилиндры, треугольники, гипотенузы, биссектрисы углов, «найдите площадь фигуры», грифельные доски и ломающийся мел. Проблема в том, что все, приходящее

на ум, — это язык для описания крайне узкого набора явлений окружающего мира. Дома, может быть, иногда и близки к параллелепипеду, но деревья —
не цилиндры, горы — не конусы, а форму облака непонятно с чем и сравнить.

 Если мы приглядимся внимательно, то в окружающем нас мире школьная геометрия описывает не столь уж и многое. И в большинстве своем описывает формы, созданные человеком. Но как быть со всем остальным миром, как можно описать форму дерева или очертания острова, форму комка земли или ветвящуюся структуру бронхов?

 Этим вопросом ученые задавались давно, но, поскольку не находили убедительного ответа, записывали эти формы в «неупорядоченные», «неисследуемые».

Глобальный перелом произошел только в 1960–1970-х годах, когда французский математик Бенуа Мандельброт придумал и развил свою теорию фракталов. Это была новая, фрактальная геометрия, взявшая за объект исследования все то неровное, изломанное и шершавое, что нас окружает. И Мандельброт нашел в сложных формах природы свой удивительный порядок.

Все, что существует в реальном мире, является фракталом – это и есть наша гипотеза, а цель данной работы показать, что математика не бездушный предмет, она может выражать духовный мир человека в отдельности и в обществе в целом.

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке.

Георг Кантор (Cantor, 1845-1918) — немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств, с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек. Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Получалась, так называемая, Пыль Кантора

Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano; 1858-1932) — итальянский математик изобразил особую линию. Он брал прямую и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком. И так до бесконечности. Уникальность такой линии в том, что она заполняет всю плоскость.

Позднее аналогичное построение было осуществлено в трехмерном пространстве.

Термин «фрактал», предложенный Б. Мандельбротом в середине 1970-х гг. для обозначения нерегулярных геометрических форм, обладающих самоподобием во всех масштабах, образован, как объясняет сам ученый, от латинского причастия «fractus» и в соответствии с семантикой исходного глагола «frangere» имеет значение «фрагментированный», «изломанный» и «неправильный по форме»

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:

— геометрические фракталы;

— алгебраические фракталы;

— стохастические фракталы.

Геометрические фракталы

Фракталы этого типа строятся поэтапно. Сначала изображается основа. Затем некоторые части основы заменяются на фрагмент. На каждом следующем этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным частям основы, вновь заменяются на фрагмент, взятый в подходящем масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается. Когда изменения становятся визуально незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Для получения самого фрактала нужно бесконечное число этапов. Меняя основу и фрагмент, можно получить много разных геометрических фракталов. Примерами геометрических фракталов служат:

• Снежинка Коха

• Т-квадрат

• H-фрактал

• Треугольник Серпинского

• Дерево Пифагора

• Кривая Леви

• Дракон

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Они оправдывают своё название, так как строятся на основе алгебраических формул, иногда довольно простых. К ним можно отнести фрактал Мандельброта, фрактал Ньютона, множество Жюлиа и многие другие.

Стохастические фракталы образуются путем многократных повторений случайных изменений каких-либо параметров. В результате итерационного процесса получаются объекты очень похожие на природные фракталы — несимметричные деревья, изрезанные лагунами береговые линии островов и многое другое. Двумерные стохастические фракталы используются преимущественно при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Фракталы в литературе.

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают фрактальной природой, т.е. вложенной структурой самоподобия:

«Вот дом.

Который построил Джек.

А вот пшеница.

Которая в тёмном чулане храница

В доме,

Который построил Джек

А вот весёлая птица-синица,

Которая ловко ворует пшеницу,

Которая в тёмном чулане храница

В доме,

Который построил Джек…».

Фракталы в медицине.

Сам по себе человеческий организм состоит из множества фракталоподобных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи и т.д.

Примеры фракталоподобных структур в организме человека: бронхи, сосуды, мышцы. Поэтому учёные задумались можно ли применять фрактальные алгоритмы для диагностики или лечения каких-либо заболеваний? Оказывается возможно. Например теория фракталов может применятся для анализа электрокардиограмм. В последние годы в развитых странах, несмотря на очевидные успехи в разработке новых лабораторных и инструментальных методов диагностики и лечения сердечно-сосудистых заболеваний, продолжается их рост.

Фракталы в естественных науках.

Очень часто фракталы применяются в геологии и геофизике. Не секрет что побережья островов и континентов имеют некоторую фрактальную размерность, зная которую можно очень точно вычислить длины побережий. Здесь уместно вспомнить одно из самых ранних открытий ученого Мандельброта о бесконечных островах. Оказывается, если наша линейка длиной в 100 м — вокруг острова поместятся 19 штук, и длина его береговой линии будет 1900 м. Если наша линейка длиной в 10 м, она сможет промерить более мелкие впадины и бухты — на береговой линии поместятся 242 штуки, а длина береговой линии составит 2420 м. Если мы возьмем линейку в 1 мм, то сможем промерить каждый камушек — длина береговой линии при таком измерении будет 5423 м — втрое больше первой величины.

Фрактальная концепция позволила ученым измерить береговую линию Британских островов и другие, ранее неизмеримые, объекты.

Фракталы в природе.

В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты, например: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру.

Фракталы в квиллинге.

Увидев ажурные поделки в технике квиллинг, возникает ощущение, что что-то они мне напоминают. Повторение одних и тех же элементов в разных размерах – конечно же, это принцип фрактальности.

Фракталы в дизайне мебели.

 Прагматичное использование принципа фрактальности продемонстрировал японский дизайнер Такеши Миякава. Тумбочка Fractal 23 содержит 23 ящика самых разных размеров и пропорций, которые как-то ухитряются уживаться между собой внутри кубического корпуса, заполняя почти всё доступное им пространство.

Фракталы в цифровой технике.

Фрактальная геометрия внесла неоценимый вклад в разработку новых технологий в области цифровой музыки, а так же сделала возможной сжатие цифровых изображений. Существующие фрактальные алгоритмы сжатия изображения основаны на принципе хранения сжимающего изображения вместо самой цифровой картинки. Для сжимающего изображения основная картинка остаётся неподвижной точкой. Фирма «Microsoft» использовала один из вариантов данного алгоритма при издании своей энциклопедии, но по тем или иным причинам широкого распространения эта идея не получила.

Фрактальная живопись.

Фрактальная живопись – одно из направлений современного арта, популярное среди цифровых художников.

Изобретено новое средство отделки, о котором мало кто знает – фрактальные постеры. Постеры-фракталы – это картины, которые можно рассматривать бесконечно. Они не только украшают интерьер, но и воздействуют на ваше настроение. Вам достаточно лишь выбрать расцветку фрактала, и он будет бодрить или, наоборот, успокаивать, завораживать, давая отдохнуть от напряженного дня, или побуждать к действиям.

Зачастую гениальные открытия, совершенные в науке, способны кардинально изменять нашу жизнь. Так, например, изобретение вакцины может спасти множество людей, а создание нового вооружения приводит к убийству. Буквально вчера (в масштабе истории) человек «укротил» электричество, а сегодня уже не может представить свою жизнь без него. Однако существуют и такие открытия, которые, что называется, остаются в тени, причем несмотря на то, что они также оказывают то или иное влияние на нашу жизнь. Одним из таких открытий стал фрактал.

Фрактальная геометрия, открытая Бенуа Мандельбротом, добавляет в наш мир еще одно измерение — типизируемых, описываемых, сложных ломаных форм, которые до этого были не названы и сливались с окружающей действительностью. Теперь же, названные и описанные, они отделились от общей массы, чтобы мы могли разглядеть их во всей красе. Чудеса там, куда ты пристально вгляделся.

Спасибо Мандельброту, открывшему для нас новый, прекрасный и подвижный мир фракталов, по которому мы делаем только первые шаги. Действительно, nomen est numen, назвать — значит узнать.

В лесах фрактальной графики

12 — 2012

Дмитрий Шахов, фрилансер, г.Москва

Фракталы привлекают внимание, завораживают, гипнотизируют. Однако многие считают, что такие изображения — просто узоры, которые хороши лишь на экране монитора или в качестве прикладных вспомогательных средств для оформления различной полиграфической продукции. При этом мало кто догадывается, что простота эта только кажущаяся. На самом деле фрактальная графика довольно сложна и является результатом слияния математики и искусства. Сегодня фракталы — один из самых перспективных, быстро развивающихся видов компьютерной графики.

Прежде чем перейти к рассмотрению фрактальной графики, рассмотрим, в чем суть компьютерной,  или «машинной», графики, а также общепринятую  классификацию компьютерной графики (Computer Graphics, CG). Это понятие появилось относительно недавно, в 60­х годах прошлого столетия, когда были изобретены электронные вычислительные устройства. Термин «компьютерная графика» трактуется в различных источниках по­разному. Некоторые определяют его как область информатики, занимающуюся вопросами получения различных изображений (рисунков, чертежей, мультипликации) на компьютере. Компьютерная графика охватывает все виды и формы представления изображений, доступные для человеческого восприятия на экране монитора или в виде копии на внешнем носителе (бумаге, ткани, кинопленке и т.п.). В других источниках компьютерная графика называется специальной областью информатики, изучающей методы и средства создания и обработки изображений с помощью программно­аппаратных вычислительных комплексов.

В широком смысле слова компьютерная графика — это всё, для чего используется визуальная, образная среда отображения на мониторе. Если сузить понятие до практического использования, то под компьютерной графикой можно подразумевать процесс создания, обработки и вывода разного рода изображений с помощью компьютера.

В зависимости от способа формирования изображений компьютерная графика делится на растровую, векторную и фрактальную (рис. 1).

Основным  и наименьшим элементом растрового изображения является  точка. Когда изображение находится в программной среде на экране, она называется пикселом. Каждый пиксел растрового изображения имеет две характеристики: размещение и цвет. Чем больше количество пикселов и меньше их размеры, тем лучше выглядит изображение. Большие объемы данных — это основная проблема при использовании растровых изображений. Второй недостаток растровых изображений связан с невозможностью их увеличения для рассмотрения деталей. Поскольку изображение состоит из точек, увеличение изображения приводит к тому, что эти точки становятся крупнее и напоминают мозаику, а следовательно, дополнительных деталей в этом случае рассмотреть не удается. Более того, увеличение точек растра визуально искажает изображение  и делает его зернистым. Этот эффект называется пикселизацией.

Рис. 1. Типы компьютерной графики: а — растровая; б — векторная; в — фрактальная

В векторной графике основным элементом изображения является  линия (не важно, прямая или кривая). Разумеется, в растровой графике тоже существуют линии, но там они рассматриваются как комбинации точек. Для каждой точки линии в растровой графике отводится одна или несколько ячеек памяти (чем больше цветов могут иметь точки, тем больше ячеек им выделяется). Соответственно, чем длиннее растровая линия, тем больше памяти она занимает. В векторной графике объем памяти, занимаемый линией, не зависит от размеров линии, поскольку линия представляется в виде формулы, а точнее, в виде нескольких параметров. Что бы мы ни делали с этой линией, меняются только ее параметры, хранящиеся в ячейках памяти. Количество же ячеек для любой линии остается неизменным.

Рис. 2. Пример фрактальности в природе — капуста Романеску

Изображение в векторном формате легко редактируется: его можно без потерь масштабировать, поворачивать, деформировать. Имитация трехмерности в векторной графике тоже проще, чем в растровой.  Дело в том, что каждое преобразование фактически выполняется так: старое изображение (или фрагмент) стирается, а вместо него строится новое. Математическое описание векторного рисунка остается прежним — изменяются только значения некоторых переменных, например коэффициентов.

Фрактальная графика относительно молода по сравнению с растровой и векторной графикой. Основой фрактальной графики является фрактальная геометрия, позволяющая математически описывать различные виды неоднородностей, встречающихся в природе. Понятия «фрактал», «фрактальная геометрия» и «фрактальная графика» появились в конце 1970­х. Слово «фрактал» образовано от латинского fractus и означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги «The Fractal Geometry of Nature» Бенуа Мандельброта. Определение фрактала, данное Мандельбротом: фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком­то смысле подобны целому. Самоподобие — одно из основных свойств фракталов. Таким образом, фрактальная графика — это вид компьютерной графики, в которой в той или иной мере используются самоподобные структуры (проще говоря, фракталы). Далее мы поговорим о том, что же такое самоподобие и где в природе встречаются фракталы.

Что подразумевается под самоподобием? Капуста Романеску из Италии — самый характерный пример фрактального объекта в природе. Капустные почки у нее нарастают в виде некой спирали (рис. 2), которая называется логарифмической, а число капустных почек  совпадает с числом Фибоначчи. Числа Фибоначчи — это элементы числовой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…,  в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Свое название они получили в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи). Каждая часть элементов капусты Романеску имеет ту же форму, что и весь кочан. Это свойство повторяется с регулярностью в различных масштабах. По сути эта капуста является природным фракталом.  То есть как бы мы ни увеличивали фрактал, после каждого шага мы увидим ту же форму, что характерна для данного фрактала в целом. Таким образом, с фракталами тесно связаны еще два понятия — итерация и рекурсия. Рекурсия — процесс повторения элементов самоподобным образом. Итерация — упрощенно говоря — повторное применение какой­либо математической операции.

Рис. 3. Рекурсия кривой Коха

На самом деле фрактальные свойства имеет очень большое количество природных объектов — просто мало кто об этом задумывается. Вы можете любоваться облаками на небе, набегающими волнами прибоя, ходить по лесу — и даже не подозревать, что в основе этой красоты лежит математика! Да­да! Исследования фрактальных свойств природных объектов начал проводить еще Бенуа Мандельброт. Оказывается, несмотря на всю сложность природных объектов, многие из них в принципе описываются довольно простыми математическими формулами. Хотя в чистом виде фракталы в природе не существуют. То, что мы наблюдаем, — это так называемые стохастические фракталы. То есть такие фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие­либо его параметры. «Чистый» фрактал можно приближать до бесконечности, поскольку он обладает бесконечной рекурсией, а вот о стохастических фракталах этого сказать нельзя.

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими­либо из следующих свойств:

• имеет нетривиальную структуру во всех масштабах — этим фрактал отличается от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, поэтому на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину;
• является самоподобной или приближенно самоподобной;
• имеет дробную метрическую размерность или метрическую размерность, превосходящую топологическую.

Кроме того, для построения фрактала необходимо учитывать начальное состояние и описывающую его формулу — так называемое исходное множество, которое пропускается через некий механизм, вызывающий его отображение и добавляющий отображенное множество к исходному. Этот процесс и называется итерацией. Таким образом, после нескольких подобных относительно простых операций получается весьма сложное изображение. В процессе получения фрактала важны два момента: исходное множество и механизм преобразования. В зависимости от алгоритма построения фракталы делятся на линейные и нелинейные.

Алгоритмы построения линейных фракталов определяются линейными функциями. В них самоподобие присутствует в простейшем варианте: любая часть повторяет целое.

Нелинейные фракталы задаются нелинейной функцией роста, то есть уравнениями в степени выше первой. В них самоподобие будет более сложным: любая часть является уже не точной, а деформированной копией целого.

Один из простейших примеров линейного фрактала — кривая Коха (1904 год, немецкий математик Хельга фон Кох).

Существует простая рекурсивная процедура (получение самоподобных частей фрактала) формирования фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рис. 3 приведено несколько шагов этой процедуры для кривой Коха.

Одним из первых нелинейные фракталы описал французский математик Гастон Жюлиа еще в 1918 году. Но в его работе отсутствовали изображения исследованных им множеств и термин «фрактал».

В наше время компьютеры позволили получить изображения множеств Жюлиа (рис. 4а), которые вместе с множествами Мандельброта(рис. 4б) являются ныне самыми известными квадратичными фрактальными структурами.

Рис. 4. Изображения множеств Жюлиа (а) и Мандельброта (б)

Оба типа фракталов возникают в результате реализации на комплексной плоскости самого простого нелинейного алгоритма.

Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от так называемых родителей геометрических свойств объектов­наследников.  Построение фрактального рисунка осуществляется по какому­либо алгоритму или путем автоматической генерации изображений при помощи вычислений по конкретным формулам. Изменения значений в алгоритмах или коэффициентов в формулах приводит к модификации этих изображений. Главным преимуществом фрактальной графики является то, что в файле фрактального изображения сохраняются только алгоритмы и формулы.

Фрактал — объект, отдельные элементы которого наследуют свойства родительских структур. Поскольку более детальное описание элементов меньшего масштаба происходит по простому алгоритму, описать такой объект можно всего несколькими математическими уравнениями.

Фракталы позволяют описывать целые классы изображений, для детального описания которых требуется относительно мало памяти. В то же время фракталы слабо применимы к изображениям вне этих классов.

Программные средства для работы с фрактальной графикой предназначены для автоматической генерации изображений путем математических расчетов. Именно поэтому фрактальная графика не признается ни компьютерными, ни обычными художниками из­за того, что якобы здесь за человека всё делает программа. На самом деле процесс работы с фрактальной графикой хоть и автоматизирован, но, тем не менее, полностью творческий:  комбинируя формулы и меняя переменные, можно добиваться удивительных результатов и воплощать самые смелые художественные замыслы. Создание фрактальной художественной композиции заключается не в рисовании или оформлении, а в программировании.

Изменяя и комбинируя окраску фрактальных фигур, можно моделировать образы живой и неживой природы (например, ветви дерева или снежинки), а также составлять из полученных фигур «фрактальную» композицию. Фрактальная графика, так же как векторная и трехмерная, является вычисляемой. Ее главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому для выполнения всех вычислений в памяти компьютера ничего, кроме формулы, хранить не требуется.

Рис. 5. Изображения, полученные с помощью фракталогенераторов

Только изменив коэффициенты уравнения, можно получить совершенно иное изображение.  Эта идея нашла применение в компьютерной графике благодаря компактности математического аппарата, необходимого для ее реализации. Так, с помощью нескольких математических коэффициентов можно задать линии и поверхности очень сложной формы.

В машинной графике фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически, благодаря фрактальной графике найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Собственно, поэтому настоящей статье и дано такое название. Многие природные объекты имеют фрактальные свойства, поэтому их легко создавать на компьютере с помощью фрактальной графики. Например, при разработке компьютерной игры нет нужды каждый раз заново рисовать лес, горы, облака и т.д. Эти объекты обладают самоподобием, а следовательно, могут быть легко сгенерированы программными средствами на основе математических формул. Добавляя или изменяя некоторые параметры исходной формулы, можно добиться удивительного разнообразия получаемых природных объектов. Фракталы на экране компьютера — это узоры, построенные самим ПК по заданной программе. Помимо фрактальной живописи существуют фрактальные анимация и музыка.  

В заключение хотелось бы отметить следующее: фрактальная графика — одно из самых необычных и перспективных направлений в компьютерной графике. Результаты, которые можно получить с ее помощью, поражают воображение даже самых искушенных ценителей компьютерного искусства.  Так, изображения, создаваемые с помощью программ­фракталогенераторов, порой содержат совершенно фантастические и необычные пейзажи (рис. 5), которые даже не снились художникам­сюрреалистам. И наоборот, с помощью фрактальной графики можно с удивительной точностью изобразить то, что мы видим в окружающем нас мире.  Воистину мир фракталов удивителен! 

Продолжение следует.

КомпьюАрт 12’2012

Фрактальная графика. :: Электроника для всех

25.07.2013 15:45

Понятие фрактала и история появления фрактальной графики

Вы, наверное, часто видели довольно хитроумные картины, на которых непонятно что изображено, но все равно необычность их форм завораживает и приковывает внимание. Как правило, это хитроумные формы не поддающиеся, казалось бы, какому–либо математическому описанию. Вы, к примеру, видели узоры на стекле после мороза или, к примеру, хитроумные кляксы, оставленные на листе чернильной ручкой, так вот что–то подобное вполне можно записать в виде некоторого алгоритма, а, следовательно, доступно объясниться с компьютером. Подобные множества называют фрактальными. Фракталы не похожи на привычные нам фигуры, известные из геометрии, и строятся они по определенным алгоритмам, а эти алгоритмы с помощью компьютера можно изобразить на экране. Вообще, если все слегка упростить, то фракталы – это некое преобразование многократно примененное к исходной фигуре.

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии (см. рис. 1). Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.

 

 

Рис. 1. Алгоритм Пеано

 

На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 Рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек, а кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, на подобие описанных (Броуновское движение, цены на акции).

Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт – отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике – фрактальной геометрии.

Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала – это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно).

Как только Мандельброт открыл понятие фрактала, оказалось, что мы буквально окружены ими. Фрактальны слитки металла и горные породы, фрактальны расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая системы в организмах животных, фрактальны речные бассейны, поверхность облаков, линии морских побережий, горный рельеф…

Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» ставший классическим – «Какова длина берега Британии?». Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую–то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра – мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно – длина берега Британии бесконечна.

        Основное свойство фракталов – самоподобие. Любой микроскопический фрагмент фрактала в том или ином отношении воспроизводит его глобальную структуру. В простейшем случае часть фрактала представляет собой просто уменьшенный целый фрактал.

Отсюда основной рецепт построения фракталов: возьми простой мотив и повторяй его, постоянно уменьшая размеры. В конце концов выйдет структура, воспроизводящая этот мотив во всех масштабах.

  

Рис.2. Триадная кривая Хельги фон Кох

 

Берем отрезок и среднюю его треть переламываем под углом 60 градусов. Затем повторяем эту операцию с каждой из частей получившейся ломаной – и так до бесконечности. В результате мы получим простейший фрактал – триадную кривую, которую в 1904 году открыла математик Хельга фон Кох.

Если на каждом шаге не только уменьшать основной мотив, но также смещать и поворачивать его, можно получить более интересные и реалистически выглядящие образования, например, лист папоротника или даже целые их заросли. А можно построить весьма правдоподобный фрактальный рельеф местности и покрыть её очень симпатичным лесом. В 3D Studio Max, например, для генерации деревьев используется фрактальный алгоритм. И это не исключение – большинство текстур местности в современных компьютерных играх представляют фракталы. Горы, лес и облака на картинке – фракталы.

Файлы фрактальных изображений имеют расширение fif. Обычно файлы в формате fif получаются несколько меньше файлов в формате jpg, но бывает и наоборот. Самое интересное начинается, если рассматривать картинки со все большим увеличением. Файлы в формате jpg почти сразу демонстрируют свою дискретную природу – появляется пресловутая лесенка. А вот fif файлы, как и положено фракталам, с ростом увеличения показывают все новую степень детализации структуры, сохраняя эстетику изображения.

 

Понятие размерности и ее расчет

В своей повседневной жизни мы постоянно встречаемся с размерностями. Мы прикидываем длину дороги, узнаем площадь квартиры и т.д. Это понятие вполне интуитивно ясно и, казалось бы, не требует разъяснения. Линия имеет размерность 1. Это означает, что, выбрав точку отсчета, мы можем любую точку на этой линии определить с помощью 1 числа – положительного или отрицательного. Причем это касается всех линий – окружность, квадрат, парабола и т.д.

Размерность 2 означает, что любую точку мы можем однозначно определить двумя числами. Не надо думать, что двумерный – значит плоский. Поверхность сферы тоже двумерна (ее можно определить с помощью двух значений – углов наподобие ширины и долготы).

Если смотреть с математической точки зрения, то размерность определяется следующим образом: для одномерных объектов – увеличение в два раза их линейного размера приводит к увеличению размеров (в данном случае длинны) в два раза (2^1).

Для двумерных объектов увеличение в два раза линейных размеров приводит к увеличению размера (например, площадь прямоугольника) в четыре раза (2^2).

Для 3–х мерных объектов увеличение линейных размеров в два раза приводи к увеличению объема в восемь раз (2^3) и так далее.

Таким образом, размерность D можно рассчитать исходя из зависимости увеличения «размера» объекта S от увеличения линейных размеров L. D=log(S)/log(L). Для линии D=log(2)/log(2)=1. Для плоскости D=log(4)/log(2)=2. Для объема D=log(8)/log(2)=3.

Рассчитаем размерность для кривой Пеано. Исходная линия, состоящая из трех отрезков длинны Х, заменяется на 9 отрезков втрое меньшей длинны. Таким образом, при увеличении минимального отрезка в 3 раза длина всей линии увеличивается в 9 раз и D=log(9)/log(3)=2 – двумерный объект.

Когда размерность фигуры получаемой из каких–то простейших объектов (отрезков) больше размерности этих объектов – мы имеем дело с фракталом.

 

Геометрические фракталы

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется «затравка» – аксиома – набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой «затравке» применяют набор правил, который преобразует ее в какую–либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем бесконечное количество преобразований – получим геометрический фрактал.

Рассмотренная ранее кривая Пеано является геометрическим фракталом. На рис. 3 приведены другие примеры геометрических фракталов (сверху вниз Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского). 

 

Рис.3. Снежинка Коха, Лист, треугольник Серпинского. 

 

Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является – снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций – получим фрактал – снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь.

Размерность снежинки Коха (при увеличении снежинки в 3 раза ее длина возрастает в 4 раза) D=log(4)/log(3)=1.2619…

Для построения геометрических фракталов хорошо приспособлены так называемые L–Systems. Суть этих систем состоит в том, что имеется определенных набор символов системы, каждый из которых обозначает определенное действие и набор правил преобразования символов.

 

Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов – алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z – комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится – на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

• с течением времени стремится к бесконечности.
• стремится к 0
• принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.
• поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике – множеству Мандельброта (рис. 4).

 

Рис.4. Множество  Мандельброта.

 

Для его построения нам необходимы комплексные числа. Комплексное число – это число, состоящее из двух частей – действительной и мнимой, и обозначается оно a+bi. Действительная часть a это обычное число в нашем представлении, а bi – мнимая часть. i – называют мнимой единицей, потому, что если мы возведем i в квадрат, то получим –1.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корень, нельзя только их сравнивать. Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата Х это действительная часть a, а Y это коэффициент при мнимой части b.

Функционально множество Мандельброта определяется как Zn+1=Zn*Zn+C. Для построения множества Мандельброта воспользуемся алгоритмом на Бейсике.

    For a=–2 to 2 ‘ для всех действительных а от –2 до 2

        For b=–2 to 2 ‘ для всех мнимых b от –2 до 2

        С=a+bi

        Z0=0+0i

        ‘Принадлежит множеству Мандельброта

        Lake=True

            ‘Повторяем 255 раз (для режима 256 цветов)

            For iteration=1 to 255

            Zn=Z0*Z0+C

            ‘Проверили – не принадлежит

                If abs(Zn)>2 then Lake=False: Exit For

                Z0=Zn

             Next

                ‘Нарисовали черную точку,принадлежащую «озеру» Мандельброта.

                If Lake=True Then PutPixel(a,b,BLACK)

                ‘ Нарисовали точку не принадлежащую множеству или лежащую на границе.

                Else PutPixel(a, b, iteration)

        Next

    Next

А теперь поясним программку словами. Для всех точек на комплексной плоскости в интервале от –2+2i до 2+2i выполняем некоторое достаточно большое количество раз Zn=Z0*Z0+C, каждый раз проверяя абсолютное значение Zn. Если это значение больше 2, что рисуем точку с цветом равным номеру итерации на котором абсолютное значение превысило 2, иначе рисуем точку черного цвета. Все множество Мандельброта в полной красе у нас перед глазами. 

Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю – это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. А самое интересное это границы множества. Они то и являются фрактальными. На границах этого множества функция ведет себя непредсказуемо – хаотично.

Меняя функцию, условия выхода из цикла можно получать другие фракталы. Например, взяв вместо выражения С=a+bi выражение Z0=a+bi, а С присваивать произвольные значения мы получим множество Жюлиа, тоже красивый фрактал.

Для множества Мандельброта тоже проявляется самоподобие. 

 

Стохастические фракталы

 

Типичный представитель данного класса фракталов «Плазма» (Рис.5).

Рис. 5. Плазма.

 

Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число – тем более «рваным» будет рисунок. Если, например, сказать, что цвет точки это высота над уровнем моря, то получим вместо плазмы – горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот (Рис.6), к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру.

 

 Рис.6. Карта высот.

 

Системы итерируемых функций (IFS – Iterated Function Systems)

Эта группа фракталов получила широкое распространение благодаря работам Майкла Барнсли из технологического института штата Джорджия. Он пытался кодировать изображения с помощью фракталов. Запатентовав несколько идей по кодированию изображений с помощью фракталов, он основал фирму «Iterated Systems», которая через некоторое время выпустила первый продукт «Images Incorporated», в котором можно было изображения переводить из растровой формы во фрактальную FIF.

Это позволяло добиться высоких степеней сжатия. При низких степенях сжатия качество рисунков уступало качеству формата JPEG, но при высоких картинки получались более качественными. В любом случае этот формат не прижился, но работы по его усовершенствованию ведутся до сих пор. Ведь этот формат не зависит от разрешения изображения. Так как изображение закодировано с помощью формул, то его можно увеличить до любых размеров и при этом будут появляться новые детали, а не просто увеличится размер пикселей.

 

Если в L–systems (алгебраических фракталах) речь шла о замене прямой линии неким полигоном, то в IFS мы в ходе каждой итерации заменяем некий полигон (квадрат, треугольник, круг) на набор полигонов, каждый их которых подвергнут аффинным преобразованиям. При аффинных преобразованиях исходное изображение меняет масштаб, параллельно переносится вдоль каждой из осей и вращается на некоторый угол.

 

 Фракталы и хаос 

Понятие фрактал неразрывно связано с понятием хаос. Хаос – это отсутствие предсказуемости. Хаос возникает в динамических системах, когда для двух очень близких начальных значений система ведет себя совершенно по–разному. Пример хаотичной динамической системы – погода (метеорологи шутят: «Взмах крыла бабочки в Техасе приводит к урагану во Флориде»). 

Хорошо проиллюстрировать хаотичное поведение можно с помощью так называемого logistic equation (логистического уравнения) x=c*x(1–x). Пришло это выражение из биологии, т.к. это грубая модель популяции животных. Так вот при исследовании поведения этой функции выяснилась интересная ее особенность. Если с – фактор роста популяции находится в пределах от 1 до 3, то через некоторое количество итераций популяция стабилизируется.

 

Рис. 7. Зависимость поведения функции от величины с.

 

При с=3 наша функция раздваивается – через определенное число итераций приходим к ситуации, когда высокая популяция в один год сменяется низкой в следующий и значение выражения как бы скачет между двумя значениями.

При с=3.45 она раздваивается снова и у нас уже имеется четырехлетний цикл.

Далее при росте с функция раздваивается все быстрее и быстрее: при с=3.54, с=3.564, с=3.569 …

И в точке 3.57 начинается хаос. Значения выражения не имеют какой либо периодичности или структуры. На рисунке 7 изображена зависимость поведения функции от величины с.

Созерцание великого фрактального подобия / Блог компании Mail.ru Group / Хабр

(с) «Галактика галактик»

Фракталы — не просто красивое природное явление. Согласно проведенным исследованиям, оценивание фрактальных структур на 60% повышает стрессоустойчивость, измеряемую на основе физиологических показателей. При созерцании фракталов в лобной корешке головного мозга всего за одну минуту увеличивается активность альфа-как во время медитации или при ощущении легкой сонливости.

Неудивительно, что фрактальный биодизайн оказывает на человека умиротворяющее воздействие. Нам нравится смотреть на облака, на языки пламени в камине, на листву в парке… Как это работает? Ученые предполагают, что естественный ход поисковых движений наших глаз — фрактальные фракталы. При совпадении размерности траектории движения глаз и фрактального объекта мы впадаем в состояние физиологического резонанса, за счет чего активизируется деятельность участков мозга.

Но не все фракталы одинаково полезны.В данной статье расскажем о фрактальной размерности и о её влиянии на здоровье.

Биофракталы

(с)

Примеры фракталов в природе встречаются повсеместно: от ракушек до сосновых шишек. Каждыйтал имеет математическую размерность D. Для человека наиболее полезны фракталы с размером 1,3–1,5, и большинство фрактальных объектов, созданных природой, имеют именно такую ​​размерность. А глаз человека эстетически «настроен» на восприятие как раз таких, встречающихся в природе фракталов.

(с)

Прекрасным примером фракталов в природе являются деревьями. Фракталы можно построить на каждом уровне лесной экосистемы — от семян и сосновых шишек до ветвей и листьев. На иллюстрации выше запечатлена «застенчивая крона» — явление, когда кроны деревьев не соприкасаются, формируются локальные участки лесного полога.

С биологической точки зрения такое расположение крон объясняется естественным отбором — изолированно как можно дальше друг от друга, чтобы максимизировать доступ к ресурсам, особенно к солнечному свету для фотосинтеза.

(с)

Итальянская капуста романеско-сверхэффективную конструкцию, позволяющую максимизировать воздействие солнечного света и транспортировать питательные вещества по всей клеточной структуре растения.

(с)

Однако размер этой капусты — 2,66. Вообще, дробная размерность является ключевой особенностью фракталов. При этом большинство из них находится в плоскости между линией (размерность 1) и двухмерной поверхностью (размерность 2).Чем выше показатель, тем больше движение в сторону трехмерных объектов (размерность 3).

Компьютерные игры

Трехмерные фракталы — одни из самых редких в природе. Гораздо проще встретить их в реальности реальности. Например, в игре Marble Marcher — уникальной аркаде, где нужно прокатить шар к цели в пространстве, созданном единым всеобъемлющим алгоритмом. Практически все, что вы видите в игре, созданной не дизайнерами, чистой математикой.

Yedoma Globula — это 3D-песочница на самописном движке, в которой можно исследовать процедуры создаваемые фрактальные ландшафты.

Фрактальные формулы можно использовать в компьютерной графике для создания реалистичных гор, рек, лесов и облаков. Игра Все пошла гораздо дальше: в ней помимо визуальной составляющей в системной подобной части геймплея используется фрактальное подобие. Тут фактически нет NPC-персонажей.Вы можете начать игру в образе свиньи, которая бродит по зеленым склонам и встречает дуб, а затем стать дубом, который отправится в самостоятельное путешествие.

Гаджеты

(с)

Использовать фракталы как «что-то полезное» можно не только в компьютерных играх или для релаксации. Именно фракталы подсказали способ уменьшения размера антенн для сотовых телефонов. Фрактальная геометрия расширяет способность создавать новые, более практичные устройства.

Сейчас фракталы используются в новом поколении поколений в устройствах IoT и других проектов приема, передачи и преобразования радиоволн.

Архитектура

(с)

Фракталы можно использовать даже неосознанно. На фото выше изображен фрагмент купола иранской мечети. Здесь вы найдете множество фотографий потолков, культурных и религиозных образований в Иране, демонстрирующих невероятно сложные фрактальные рельефы и мозаики, декорирующие изысканные архитектурные элементы.

(с)

Храм Деви Джагадамби в Кхаджурахо — отличный пример фрактальной архитектуры. Индийские и другие храмы Юго-Восточной Азии имеют фрактальную структуру: главная башня окружена башнями меньшего размера, те в свою очередь — еще более маленькими башнями.И так до восьми (а порой и больше) уровней, представляющих различные аспекты индуистского мифологического мифологического пантеона.

(с)

Фракталы в электрической энергии — не уникальное изобретение одной части света. Сложное убранство готической, ренессансной и барочной архитектуры, особенно выраженное в соборах, часто демонстрирует фрактальное копирование и масштабирование на нескольких уровнях. Характерное для европейской архитектуры с конца XII в. переплетение арок скорее имело не эстетическое, а практическое значение: оно было разработано для укрепления окон и стен против давления ветра.

(c)

С конца XX века фрактальную геометрию использовали осознанно для создания интересных и приятных глазу фасадов. На фото — здание одного из самых сложных в архитектурном плане комплексов, расположенное в мельбурнском городском районе (Австралия). В комплексе объединены культурные, рекреационные и коммерческие проекты.

Опасные фракталы

(с)

Большинство фрактальных изображений, генерируемых математическими, естественными и человеческими процессами, общим эстетическим качеством, основанным на визуальной сложности.Участники тестов визуального восприятия предпочитают фракталы именно естественного происхождения с размерностью 1,3–1,5. Для волны и облака имеют размерность 1,3, береговая линия — 1,05.

(с)

А что, если увеличить размерность? Получившийся объект не всегда будет приятно разглядывать. На этой иллюстрации изображена картина распределения электрического разряда с размером 1,75, известная как фигура Лихтенберга, созданная высоковольтным электрическим разрядом на непроводящем материале.

Еще один отталкивающий объект — фрактальный продукт кристаллических структур с размерностью 1,8, сфотографированный через микроскоп.

Демосцена и софт

Пожалуй, нигде так красочно не исследовали мир фракталов, как в демосцене. Hartverdrahtet — достойный победитель конкурса демосцены 2012 года по 4-килобайтным файлам. Автор, Demoscene Passivist, говорит, что для создания демо с процедурно генерируемыми фрактальными ландшафтами потребовалось около двух месяцев.

А вот один из лучших проектов с фрактальными эффектами в демосцене. К сожалению, качество демонстрационного видео крайне плохое (из-за давности лет), но демо можно скачать и запустить на компьютере.

Для создания подобных или других фрактальных мировых миров ухищрений не требуется. Есть несколько отличных программ, с помощью которых вы сможете самостоятельно изучать фрактальной вселенной.

Проект с открытым исходным кодом XaoS. Бесплатный открытый, кроссплатформенный инструмент для масштабирования и изучения множества Мандельброта и десятков других фракталов.

JWildfire. Еще одна кроссплатформенная (в том числе с мобильной версией) программа, основанная на Java с открытым исходным кодом, для обработки изображений. Она известна в основном своим сложным генератором пламенных фракталов.

Мандельбульбер | Mandelbulb3D. Превосходные бесплатные инструменты для создания трехмерных фракталов, таких как устрашающая Оболочка Мандельброта, загадочная «коробка» Мандельбокс и др. Mandelbulber несколько более функционален и быстр, но Mandelbulb3D чуть проще в использовании.

По ссылке вы найдете множество других программ.

Заключение

Исследование фракталов началось в 1975 году. То есть фактически мы только приступили к изучению этой огромной и неизведанной территории. Фракталы выходят за рамки чистой математики, искусства, схожего с музыкой и поэзией, или практического инструмента решения прикладных задач. Они могут дать гораздо больше: например, объяснить явления, находящиеся вне понимания при текущем развитии. Вся фрактальная космология строится на теории бесконечности пространства и распределении в нем астрономических объектов по принципу фрактальной размерности (в диапазоне от 2 до 3)..

В лесах фрактальной графики

12 — 2012

Дмитрий Шахов, фрилансер, г.Москва

Фракталы привлекают внимание, завораживают, гипнотизируют. Некоторые считают, что такие изображения — просто узоры, которые хороши лишь на экране монитора или в прикладных вспомогательных средствах для оформления полиграфической продукции. При этом мало кто догадывается, что простота эта только кажущаяся. На самом деле фрактальная графика довольно сложным результатом является слияния математики и искусства.Сегодня фракталы — один из самых перспективных, быстро видов компьютерной графики.

Прежде чем перейти к рассмотрению фрактальной графики, рассмотрим, в чем суть компьютерной, или «машинной», графики, а также общепринятую классификацию компьютерной графики (компьютерная графика, CG). Это понятие появилось относительно недавно, в 60х годах прошлого столетия, когда были изобретены электронные вычислительные устройства. Термин «компьютерная графика» трактуется в различных источниках поразному.Некоторые его определяют как область информатики, занимающуюся поиском различных изображений (рисунков, чертежей, мультипликации) на компьютере. Компьютерная графика все виды и формы представления изображений, доступных для человеческого восприятия на экран монитора или в виде копии на внешнем носителе (бумаги, ткани, кинопленке и т.п.). В других источниках компьютерная графика называется специальной специальной информатики, изучающей методы и средства создания и обработки изображений с помощью программноаппаратных вычислительных комплексов.

В широком смысле слова компьютерная графика — это всё, для чего используется визуальная, образная среда отображения на мониторе. Если использовать понятие до практического использования, то можно предполагать процесс создания, обработки и вывода разного рода изображений с помощью компьютера.

В зависимости от способа формирования изображений компьютерная графика делится на растровую, векторную и фрактальную (рис.1).

Основным и наименьшим изображением растрового изображения является точка. Когда изображение находится в программной среде на экране, она называется пикселом. Каждый пиксел растрового изображения имеет характеристики: размещение и цвет. Чем больше количество пикселов и меньше их размеры, тем лучше выглядит изображение. Большие объемы данных — это основная проблема при использовании растровых изображений. Второй недостаток растровых изображений с невозможностью их увеличения для рассмотрения деталей.В этом случае увеличение изображения приводит к тому, что эти точки становятся крупнее и напоминают мозаику, а, следовательно, изображения в этом случае не удается. Более того, увеличение точек растра визуально искажает изображение и делает его зернистым. Этот эффект называется пикселизацией.

Рис. 1. Типы компьютерной графики: а — растровая; б — своей; в — фрактальная

В векторной графике основным изображением является линия (не важно, прямая или кривая).Разумеется, в растровой графике тоже существуют линии. Для каждой точки линии в растровой графике отводится одна или несколько ячеек памяти (чем больше цветов может иметь точки, тем больше ячеек им выделяется). Соответственно, чем длиннее растровая линия, тем больше память она занимает. В векторной графике объем памяти, занимаемый линией, не зависит от размеров линии, кажется линия представляется в виде формулы а точнее, в виде нескольких параметров.Что бы мы ни делали с этой линией, меняются только ее параметры, хранящиеся в ячейках памяти. Количество же ячеек для любой линии остается неизменным.

Рис. 2. Пример фрактальности в природе — капуста Романеску

.

Изображение в векторном формате легко редактируется: его можно без потерь масштабировать, поворачивать, деформировать. Имитация трехмерности в векторной графике тоже проще, чем в растровой. Дело в том, что каждое преобразование выполняется так: старое изображение (или фрагмент) стирается, а вместо него строится новое.Математическое описание схемка прежняя — изменяются только значения некоторых чисел, например коэффициентов.

Фрактальная графика относительно молода по с растровой и векторной графикой. Основой фрактальной графики является фрактальная описательная геометрия, позволяющая математически различные виды неоднородностей, встречающихся в природе. Понятия «фрактал», «фрактальная геометрия» и «фрактальная графика» появились в конце 1970х. Слово «фрактал» образовано от латинского фрактуса и означает «состоящий из фрагментов».Оно было предложено математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги «Фрактальная геометрия природы» Бенуа Мандельброта. Определение фрактала, данное Мандельбротом: фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в определенном смысле подобны целому. Самоподобие — одно из основных свойств фракталов. Таким образом, фрактальная графика — это вид компьютерной схемы, используемой в той или иной мере самоподобные структуры (проще говоря, фракталы).Далее мы поговорим о том, что же такое самоподобие и где в природе встречаются фракталы.

Что подразумевается под самоподобием? Капуста Романеску из Италии — самый характерный пример фрактального объекта в природе. Капустные почки у нее нарастают в виде некой спирали (рис. 2), которая называется логарифмической, а число капустных почек совпадает с числом Фибоначчи. Числа Фибоначчи — это элементы числовой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 …, В каждом из которых находится последнее число равно сумме двух предыдущих чисел.Свое название они получили в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи). Каждая часть элементов капусты Романеску имеет ту же форму, что и весь кочан. Это свойство повторяется с регулярностью в различных масштабах. По сути эта капуста является природным фракталом. То есть как бы мы ни увеличивали фрактал, после каждого шага мы увидим ту же форму, что характерна данной фрактала в целом. Таким образом, с фракталами связаны еще два понятия — итерация и рекурсия.Рекурсия — процесс повторения элементов самоподобным образом. Итерация — упрощенно говоря — повторное применение какойлибо математической операции.

Рис. 3. Рекурсия кривой Коха

На самом деле фрактальные свойства имеет очень большое количество природных объектов — просто мало кто об этом задумывается. Вы можете облаками на небе, любоваться волнами прибоя, ходить по лесу — и даже не подозревать, что в основе красоты лежит математика! Дада! Исследования фрактальных свойств природных объектов продолжил проводить еще Бенуа Мандельброт.Оказывается, несмотря на всю сложность природных объектов, многие из них в принципе описываются довольно простыми математическими формулами. Хотя в чистом виде фракталы в природе не существуют. То, что мы наблюдаем, — это так называемые стохастические фракталы. То есть такие фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. «Чистый» фрактал можно приближать до бесконечности, поскольку он обладает бесконечной рекурсией, а вот о стохастических фракталах этого сказать нельзя.

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает способилибо из следующих свойств:

• имеет нетривиальную структуру во всех масштабах — этим фрактал отличается от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функций): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой.Для фрактала масштабирования масштаб не ведет к упрощению структуры, поэтому на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину;
• является самоподобной или приближенно самоподобной;
• имеет дробную метрическую размерность или метрическую размерность превосходящую топологическую.

Кроме того, для построения структуры необходимо учитывать начальное состояние и описывающую его формулу — так называемое исходное множество, вызываемое через некий механизм, вызывающее его отображение и добавляемое отображаемое множество к исходному.Этот процесс и называется итерацией. Таким образом, несколько подобных простых операций получается весьма сложное изображение. В процессе получения фрактала важны два момента: исходное множество и механизм преобразования. В зависимости от алгоритма построения фракталы делятся на линейные и нелинейные.

Алгоритмы построения линейных фракталов определяет линейные функции. В них самоподобие присутствует в простейшем варианте: любая часть повторяет целое.

Нелинейные фракталы задаются нелинейной функцией роста, то есть уравнениями в степени выше первой. В них самоподобие будет более сложным: любая часть является уже не точной, а деформированной копией целого.

Один из простейших примеров линейного фрактала — кривая Коха (1904 год, немецкий математик Хельга фон Кох).

Существует простая рекурсивная процедура (получение самоподобных частей фрактала) формирования фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором.Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рис. 3 приведено несколько шагов этой процедуры для кривой Коха.

Одним из первых из нелинейных фракталов описал французский математик Гастон Жюлиа еще в 1918 году. В его работе отсутствовали изображения исследованных им множеств и термин «фрактал».

В наше время компьютерыили получить изображения множеств Жюлиа (рис.4 а ), которые вместе с множеством Мандельброта (рис. 4 б ) являются ныне самыми известными квадратичными фрактальными структурами.

Рис. 4. Изображения множеств Жюлиа (а) и Мандельброта (б)

Оба типа фракталов возникают в результате реализации на комплексной плоскости самого простого нелинейного алгоритма.

Здесь в шаблоне метода построения изображений положен принцип наследования от так называемых родительских геометрических объектов наследников.Построение фрактального рисунка осуществляется по какомулибо алгоритму или путем автоматической генерации изображений при помощи вычислений по конкретным формулам. Изменения значений в алгоритмах или коэффициентов в формулах приводит к модификации этих изображений. Главным преимуществом фрактальной графики является то, что в таблице фрактального изображения сохраняются только алгоритмы изображения и формулы.

Фрактал — объект, отдельные элементы которого наследуют свойства родительских структур.Более детальное описание элементов меньшего масштаба происходит по простому алгоритму, описать такой объект можно всего используя математические уравнения.

Фракталы позволяют описывать целые классы изображений, для детального описания требуется относительно мало памяти. В то же время фракталы слабо применимы к изображениям вне этих классов.

Программные средства для работы с автоматической генерацией изображений путем математических расчетов.Именно поэтому фрактальная графика не признается ни компьютерными, ни обычными художниками изза того, что якобы здесь за человека всё делает программа. На самом деле процесс работы с фрактальной формой хоть и автоматизирован, но, тем не менее, полностью творческий: комбиниру график формулы и меняя переменные, можно добиваться удивительных результатов и воплощать самые смелые художественные замыслы. Создание фрактальной художественной композиции заключается не в рисовании или оформлении, а в программировании.

Изменяя и комбинируя окраску фрактальных фигур, можно моделировать образы живой и неживой природы (например, ветви дерева или снежинки), а также составлять из полученных фигур «фрактальную» композицию. Фрактальная графика, так же как трехмерная, является вычисляемой. Ее главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе. Поэтому для выполнения всех вычислений в памяти компьютера ничего, кроме формулы, хранить не требуется.

Рис.5. Изображения получены с помощью фракталогенераторов

Только изменив коэффициенты уравнения, можно получить окончательное изображение. Эта идея нашла применения в компьютерной графике благодаря использованию математического аппарата, необходимого для ее реализации. Так, с помощью нескольких математических коэффициентов можно задать линии и поверхности очень сложной формы.

В машинной графике фрактальная геометрия при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря.Фактически, благодаря фрактальной графике найденный способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых очень похожи на природные. Собственно, поэтому настоящей статьи и дано такое название. Многие природные объекты имеют фрактальные свойства, поэтому их легко создать на компьютере с помощью фрактальной графики. Например, при разработке компьютерной игры нет нужды каждый раз заново рисовать лес, горы, облака и т.д. Эти объекты обладают самоподобием, а следовательно, могут быть легко сгенерированы средствами на основе математических формул.Добавляя некоторые параметры исходной формулы, можно удивительного разнообразия получаемых природных объектов. Фракталы на экране компьютера — это узоры, построенные самим ПК по заданной программе. Помимо фрактальной живописи существуют фрактальные анимация и музыка.

В заключение хотелось бы отметить следующее: фрактальная графика — одно из самых необычных и перспективных проектов в компьютерной графике. Результаты, которые можно получить с ее помощью, поражают воображение даже самых искушенных ценителей компьютерного искусства.Так, изображения, создаваемые с помощью программфракталогенераторов, порой содержат совершенно фантастические и необычные пейзажи (рис. 5), которые даже не снились художникамсюрреалистам. И наоборот, с помощью фрактальной графики можно с удивительной точностью изобразить то, что мы видим в окружающем нас мире. Воистину мир фракталов удивителен!

Продолжение следует.

КомпьюАрт 12’2012

.

фрактальная графика — с английского на русский

Фрактальное искусство — создается путем вычисления фрактальных объектов и представления результатов вычислений в виде неподвижных изображений, анимации, музыки или других медиа. Фрактальное искусство обычно создается косвенно с помощью компьютер, итерация через три этапа:…… Wikipedia

Фрактальное сжатие — это метод сжатия изображений с потерями, использующий фракталы для достижения высокого уровня сжатия.Этот метод лучше всего подходит для фотографирования природных пейзажей (деревья, горы, папоротники, облака). Техника фрактального сжатия основана на том, что в…… Wikipedia

Фрактальный анализ — это моделирование данных с помощью фракталов. Оно состоит из методов присвоения фрактальной размерности и других фрактальных характеристик сигналу, набору данных или объекту, который может быть звуком, изображениями, молекулами, сетями или другими данными. анализ сейчас…… Wikipedia

Программа для генерации фракталов — это компьютерная программа, которая генерирует изображения фракталов.Есть много доступных программ генерации фракталов, как бесплатных, так и коммерческих. Некоторые из наиболее популярных программ генерации фракталов включают: [[http://home.att.net/ Paul.N.Lee / Пробное использование…… Wikipedia

Фрактальное пламя — Фрактальное пламя является членом класса системы повторяющихся функций [Mitchell Whitelaw (2004). Метакреация: искусство и искусственная жизнь. MIT Press. pp 155.] фракталов, созданных Скоттом Дрейвсом в 1992 году. [цитировать…… Wikipedia

Фрактал — Фрактал, как правило, представляет собой грубую или фрагментированную геометрическую форму, которую можно разделить на части, каждая из которых является (по крайней мере приблизительно) копией целого в уменьшенном размере, [цитата из последней книги = сначала Мандельброта = B.B. title = Фрактальная геометрия…… Wikipedia

фрактал — / frak tl /, n. Математика, Физика. геометрическая или физическая структура, имеющая неправильную или фрагментированную форму на всех масштабах измерения от наибольшего до наименьшего масштаба, такая, что определенные математические или физические свойства конструкции,…… Универсальный

Fractal Image Format — Das von Altamira entwickelte Fractal Image Format (* .fif) basiert auf der fraktalen Kompression.So wie beim Mandelbrot Apfelmännchen gibt es in der Natur geometrische Formen, die sich im Großen und im Kleinen selbstähnlich sind. Дурч…… Deutsch Wikipedia

Terrapin Turtle Graphics — Название программного обеспечения Infobox = Terrapin Turtle Graphics Разработчик = Spencer Tipping, последняя версия выпуска = 2.1, последняя дата выпуска = 17 мая 2008 г. Операционная система = Linux, Unix, Microsoft Windows, Mac OS, другие операционные системы с JRE …… Википедия

Фрактал Пылающего Корабля — Фрактал Пылающего Корабля, впервые описанный и созданный Майклом Мичеличем и Отто Э.2 + c, quad Z 0 = 0 в комплексной плоскости c, которая…… Wikipedia

Компьютерная графика — Эта статья о графике, созданной с помощью компьютеров. Для статьи о научном изучении компьютерной графики см. Компьютерная графика (информатика). И другие значения, см. Компьютерная графика (значения). Скриншот Blender 2.45,…… Википедия

.

фрактальной графики — с русского на английский

Фрактальное искусство — создается путем вычисления фрактальных объектов и представления результатов вычислений в виде неподвижных изображений, анимации, музыки или других носителей. Фрактальное искусство обычно создается косвенно с помощью компьютер, итерация через три этапа:…… Wikipedia

Фрактальное сжатие — это метод сжатия изображений с потерями, использующий фракталы для достижения высокого уровня сжатия.Этот метод лучше всего подходит для фотографирования природных пейзажей (деревья, горы, папоротники, облака). Техника фрактального сжатия основана на том, что в…… Wikipedia

Фрактальный анализ — это моделирование данных с помощью фракталов. Оно состоит из методов присвоения фрактальной размерности и других фрактальных характеристик сигналу, набору данных или объекту, который может быть звуком, изображениями, молекулами, сетями или другими данными. анализ сейчас…… Wikipedia

Программа для генерации фракталов — это компьютерная программа, которая генерирует изображения фракталов.Есть много доступных программ генерации фракталов, как бесплатных, так и коммерческих. Некоторые из наиболее популярных программ генерации фракталов включают: [[http://home.att.net/ Paul.N.Lee / Пробное использование…… Wikipedia

Фрактальное пламя — Фрактальное пламя является членом класса системы повторяющихся функций [Mitchell Whitelaw (2004). Метакреация: искусство и искусственная жизнь. MIT Press. pp 155.] фракталов, созданных Скоттом Дрейвсом в 1992 году. [цитировать…… Wikipedia

Фрактал — Фрактал, как правило, представляет собой грубую или фрагментированную геометрическую форму, которую можно разделить на части, каждая из которых является (по крайней мере приблизительно) копией целого в уменьшенном размере, [цитата из последней книги = сначала Мандельброта = B.B. title = Фрактальная геометрия…… Wikipedia

фрактал — / frak tl /, n. Математика, Физика. геометрическая или физическая структура, имеющая неправильную или фрагментированную форму на всех масштабах измерения от наибольшего до наименьшего масштаба, такая, что определенные математические или физические свойства конструкции,…… Универсальный

Fractal Image Format — Das von Altamira entwickelte Fractal Image Format (* .fif) basiert auf der fraktalen Kompression.So wie beim Mandelbrot Apfelmännchen gibt es in der Natur geometrische Formen, die sich im Großen und im Kleinen selbstähnlich sind. Дурч…… Deutsch Wikipedia

Terrapin Turtle Graphics — Название программного обеспечения Infobox = Terrapin Turtle Graphics Разработчик = Spencer Tipping, последняя версия выпуска = 2.1, последняя дата выпуска = 17 мая 2008 г. Операционная система = Linux, Unix, Microsoft Windows, Mac OS, другие операционные системы с JRE …… Википедия

Фрактал Пылающего Корабля — Фрактал Пылающего Корабля, впервые описанный и созданный Майклом Мичеличем и Отто Э.2 + c, quad Z 0 = 0 в комплексной плоскости c, которая…… Wikipedia

Компьютерная графика — Эта статья о графике, созданной с помощью компьютеров. Для статьи о научном изучении компьютерной графики см. Компьютерная графика (информатика). И другие значения, см. Компьютерная графика (значения). Скриншот Blender 2.45,…… Википедия

.