Вектор тема: Векторы — урок. Геометрия, 9 класс.

Содержание

Вектор: определение и основные понятия

Определение вектора

Определение. Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. (рис.1)

рис. 1

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка А, а концом — точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a.

Длина вектора

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Нулевой вектор

Определение. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как 0.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Сонаправленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑↑b (рис. 3).

рис. 3

Противоположно направленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑↓b (рис. 4).

рис. 4

Компланарные вектора

Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 5).

рис. 5

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Равные вектора

Определение. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).

рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b, если a↑↑b и |a| = |b|.

Векторы. Начальные сведения

Определения

Вектор – это направленный отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая – концом.
Если \(A\) – начало вектора, \(B\) – его конец, то вектор обозначается как \(\overrightarrow{AB}\). Вектор также можно обозначать одной маленькой буквой: \(\overrightarrow{a}\).

Иногда говорят, что вектор – это перемещение из точки \(A\) в точку \(B\).

Длина (или модуль) вектора \(\overrightarrow{AB}\) – это длина соответствующего отрезка \(AB\).
Обозначение: \(|\overrightarrow{AB}|=AB\).

Если длина вектора равна нулю (совпадают начало и конец), то такой вектор называют нулевым.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (\(\overrightarrow a, \overrightarrow b\) и \(\overrightarrow c\)).

В противном случае векторы называются неколлинеарными (например, \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow d\)).

Причем если два коллинеарных вектора направлены в одну сторону, то они называются

сонаправленными (\(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow c\)). В противном случае векторы называются противоположно направленными (\(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\)).
Обозначение: \(\overrightarrow a \uparrow \uparrow \overrightarrow c\), \(\overrightarrow a \uparrow \downarrow \overrightarrow b\).

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Правила сложения коллинеарных векторов:

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два сонаправленных вектора, можно отложить второй вектор от конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).

Правила сложения неколлинеарных векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

\(\blacktriangleright\) Правило треугольника (рис. 3).

Нужно от конца вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\). Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – это вектор, начало которого совпадает с началом вектора \(\overrightarrow {a}\), а конец – с концом вектора \(\overrightarrow {b}\).

\(\blacktriangleright\) Правило параллелограмма (рис. 4).

Нужно от начала вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\). Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – вектор, совпадающей с диагональю параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow {b}\) (начало которого совпадает с началом обоих векторов).

Определение

Вектор \(\overrightarrow {-b}\) – это вектор, противоположно направленный с вектором \(\overrightarrow {b}\) и совпадающий с ним по длине.

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти разность двух векторов \(\overrightarrow {a}-\overrightarrow{b}\), нужно найти сумму векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(-\overrightarrow{b}\): \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\) (рис. 5).

Свойства сложения векторов

1. Наличие нейтрального вектора: для любого вектора \(\overset{\rightarrow}{a}\) выполнено: \(\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{0} = \overset{\rightarrow}{a}\).

2. Наличие обратного вектора: для любого вектора \(\overset{\rightarrow}{a}\) выполнено \(\overset{\rightarrow}{a} + (-\overset{\rightarrow}{a}) = \overset{\rightarrow}{0}\).

3. Ассоциативность: для любых векторов \(\overset{\rightarrow}{a}\), \(\overset{\rightarrow}{b}\) и \(\overset{\rightarrow}{c}\) выполнено \((\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b}) + \overset{\rightarrow}{c} = \overset{\rightarrow}{a} + (\overset{\rightarrow}{b} + \overset{\rightarrow}{c})\)

4. Коммутативность: для любых векторов \(\overset{\rightarrow}{a}\) и \(\overset{\rightarrow}{b}\) выполнено \(\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b} = \overset{\rightarrow}{b} + \overset{\rightarrow}{a}\).

Замечание

Для того, чтобы сложить несколько вектором, можно отложить их последовательно: каждый следующий от конца предыдущего. Тогда суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего: \[\overrightarrow {a_1}+\overrightarrow {a_2}+\overrightarrow {a_3}+ \overrightarrow {a_4}=\overrightarrow {a}\]

Определение

Произведением ненулевого вектора \(\overrightarrow {a}\) на число \(\lambda\) называется такой вектор \(\lambda\overrightarrow {a}\), длина которого равна \(|\lambda|\cdot |\overrightarrow {a}|\), причем векторы \(\overrightarrow {a}\) и \(\lambda \overrightarrow {a}\) сонаправлены, если \(\lambda>0\), и противоположно направлены, если \(\lambda<0\). Если \(\lambda=0\), то вектор \(\lambda\overrightarrow {a}\) равен нулевому вектору.

Свойства произведения вектора на число

1. Сочетательный закон: \(k(\lambda\overrightarrow {a})=(k\lambda)\overrightarrow {a}\);

2. Распределительный закон 1: \((k+\lambda)\overrightarrow {a}=k\overrightarrow {a}+\lambda\overrightarrow {a}\);

2. Распределительный закон 2: \(\lambda(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b})=\lambda\overrightarrow {a}+\lambda\overrightarrow {b}\).

Теорема

Если \(M\) – середина отрезка \(PQ\), \(O\) – произвольная точка плоскости, то \[\overrightarrow {OM}=\dfrac12 \left(\overrightarrow {OP}+\overrightarrow {OQ}\right)\]

Лекция 1 « ВЕКТОРЫ» — Студопедия

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

1. Основные понятия

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

· Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если

А — начало вектора, а, В — его конец, то вектор обозначается символом или .

· Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается .

· Длинойили модулемвектора называется длина отрезка и обозначается .

· Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектороми обозначается . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным

вектором и обозначается через . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

· Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают || .

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

· Два вектора и называются равными ( = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства.

· Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Если среди трех поизвольных векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

2. Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть и — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор = . От точки А отложим вектор .

· Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммойвекторов и : (см. рис. 1).

Рис. 1

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма(см. рис. 2).

Рис. 2

На рисунке 3 показано сложение трех векторов , и .

Рис. 3.

Получившийся многоугольник называют векторным многоугольником; если суммируемые вектора образуют замкнутый многоугольник, то их сумма равна нулю.

· Под разностьювекторов и понимается вектор = — такой, что + = (см. рис. 4).

Рис. 4.

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая — разностью (см. рис. 5).

Рис. 5.

Можно вычитать векторы по правилу: , т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору .

· Произведением вектора на скаляр (число) λ называется вектор λ· (или ·λ), который имеет длину |λ|·| |, коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если λ > 0 и противоположное направление, если λ < 0.

Например, если дан вектор (рис.6), то векторы 3 и -2 будут иметь вид:

Рис. 6.

Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если = λ· , то ║ . Наоборот, если ║ , ( ≠ 0), то при некотором λ верно равенство = λ ;

2) всегда = ׀ ׀· , т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. + = + .

2. ( + ) + = + ( + ),

3. λ₁·(λ₂· ) = λ₁·λ₂·

4. (λ₁ + λ₂) = λ₁ · + λ₂ · ,

5. λ·( + ) = λ· + λ· .

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

3. Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая.

Проекцией точки Мна ось l называется основание M₁ перпендикуляра ММ₁, опущенного из точки на ось.

Точка M₁есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).

Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М.

Рис. 7

Пусть — произвольный вектор ( ≠ ). Обозначим через А₁и В₁проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора и рассмотрим вектор .

Рис. 8.

· Проекцией вектора на ось l называется положительное число | |, если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число — | |, если вектор и ось l противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки А₁и В₁совпадают ( = 0), то проекция вектора равна 0.

Проекция вектора на ось l обозначается так: пр_l . Если = или , то пр_l = 0.

Угол φ между вектором и осью l (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно, 0 ≤ φ ≤ π.

Рис. 9.

Рассмотрим основные свойства проекций.

С 1. Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла φ между вектором и осью, т. е. пр_l = | |• cos φ.

ü Если φ < π/2, то пр_l = +| | = | |·cos φ.

ü Если φ = π/2, то пр_l = 0 = |a|cos φ.

Рис. 10.

Следствие 1.Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие 2.Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

С 2.Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пусть, например, = + + . Имеем пр_l = +| | = +| | + | | — | |, т. е. пр_l ( + + ) = пр_l + пр_l + пр_l (см. рис. 11).

Рис. 11.

С 3. При умножении вектора на число λ его проекция на ось также умножается на это число, т. е. пр_l(λ· ) = λ· пр_l

При λ > 0 имеем пр_l(λ· ) = |λ |·сos φ = λ·| |·cos φ = λ· пр_l· .

При λ < 0: пр_l(λ· ) = |λ |·сos (π-φ) = -λ·| |·(-cos φ) = λ· ·cos φ = λ· пр_l .

Свойство справедливо, очевидно, и при λ = 0.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые , , соответственно (см. рис. 12).

Рис. 12.

Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: .

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через M₁, М₂и М₃. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда пр_х = | |, пр_у = | |, пр_z = | |. По определению суммы нескольких векторов находим .

А так как , то

Но ·= | |· , ·= | |· , ·= | |·

Обозначим проекции вектора = на оси Ох, Оу и Oz соответственно через а_х, а_уи а_z, т.е. | | = а_х, | | = а_у, = | | = а_z. Тогда из равенств и получаем:

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа а_х, а_у, a_zназываются координатами вектора , т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство часто записывают в символическом виде: = (а_х; а_у; a_z)._

Равенство = (b_х; b_у; b_z) означает, что .

Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать , т. е.

Отсюда:

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны α, β, γ- По свойству проекции вектора на ось, имеем:

а_х = | |·cos α, а_y = | |·cos β, а_z = | |·cos γ

Или то же самое, cos α = а_х / | |·, cos β = а_y / | |·, cos γ = а_z / | |·

Числа cos α, cos β, cos γ называются направляющими косинусами вектора . Подставим выражения в равенство, получаем:

| |² = | |² · cos²α + | |² · cos²β + | |² · cos²γ.

Сократив на | |² ≠ 0, получим соотношение:

cos²α + cos²β + cos²γ = 1,

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектора являются числа cos α, cos β, cos γ, т. е. = (cos α; cos β; cos γ)

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т. е. сам вектор.

5. Действия над векторами, заданными проекциями

Пусть векторы = (а_х; а_у; a_z) и = (b_х; b_у; b_z) заданы своими проекциями на оси координат Ох, Оу, Oz или, что то же самое

Лекция на тему: «Векторы».

Вектор — это отрезок, который имеет направление. Конец вектора совпадает со стрелкой, начало — точка. Модуль вектора (абсолютная величина) — длина этого направленного отрезка.

Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.

Два вектора являются равными, если их длина одинаковая и они имеют одинаковое направление. Они совмещаются при переносе.

Длина вектора

Определение. Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Нулевой вектор

Определение. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как 0.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Коллинеарные вектора

Определение. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 2).

рис. 2

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

a = n · b

Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Сонаправленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑↑b (рис. 3).

Противоположно направленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑↓b (рис. 4).

Компланарные вектора

Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 5).

Условия компланарности векторов

Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

Равные вектора

Определение. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).

Условие равенства векторов. Вектора равны, если их координаты равны.

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b, если a↑↑b и |a| = |b|.

Примеры задач на равенство векторов

Примеры плоских задач на равенство векторов

Пример 1. Определить какие из векторов равны a = {1; 2}, b = {1; 2}, c = {3; 2}.

Решение:

a = b — так как их координаты равны,
a ≠ c — так как их координаты не равны,
b ≠ c — так как их координаты не равны.

Пример 2. При каком значении параметра n вектора a = {1; 8;} и b = {1; 2n} равны.

Решение:

Проверим равенство компонентов векторов
a_x = b_x = 1
a_y = b_y => 8 = 2n => n = 8/2 = 4

Ответ: при n = 4 вектора a и b равны.

Примеры пространственных задач на равенство векторов

Пример 3. Определить какие из векторов равны a = {1; 2; 4}, b = {1; 2; 2}, c = {1; 2; 4}.

Решение:

a = c — так как их координаты равны,
a ≠ b — так как их координаты не равны,
b ≠ c — так как их координаты не равны.

Пример 4. При каком значении параметра n вектора a = {1; 2; 4} и b = {1; 2; 2n} равны.

Решение:

Проверим равенство компонентов векторов
a_x = b_x = 1
a_y = b_y = 2
a_z = b_z => 4 = 2n => n = 4/2 = 2

Ответ: при n = 2 вектора a и b равны.

Единичный вектор

Определение. Единичным вектором или ортом — называется вектор, длина которого равна единице.

Основное соотношение.Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Ортогональность векторов

Определение.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).

Условие ортогональности векторов.Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю.

a · b = 0

Формулы определения координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки

Формула определения координат вектора для плоских задач

В случае плоской задачи вектор AB заданный координатами точек A(A_x ; A_y) и B(B_x ; B_y) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B_x — A_x ; B_y — A_y}

Формула определения координат вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи вектор AB заданный координатами точек A(A_x ; A_y ; A_z) и B(B_x ; B_y ; B_z) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B_x — A_x ; B_y — A_y ; B_z — A_z}

Формула определения координат вектора для n -мерного пространства

В случае n-мерного пространства вектор AB заданный координатами точек A(A₁ ; A₂ ; … ; A_n) и B(B₁ ; B₂ ; … ; B_n) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B₁ — A₁ ; B₂ — A₂ ; … ; B_n — A_n}

Примеры для плоских задач

Пример 1. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4), B(3; 1).

Решение: AB = {3 — 1; 1 — 4} = {2; -3}.

Пример 2. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1}, если координаты точки A(3; -4).

Решение:

AB_x = B_x — A_x => B_x = AB_x + A_x => B_x = 5 + 3 = 8
AB_y = B_y — A_y => B_y = AB_y + A_y => B_y = 1 + (-4) = -3

Ответ: B(8; -3).

Пример 3. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1}, если координаты точки B(3; -4).

Решение:

AB_x = B_x — A_x => A_x = B_x — AB_x => A_x = 3 — 5 = -2
AB_y = B_y — A_y => A_y = B_y — AB_y => A_y = -4 — 1 = -5

Ответ: A(-2; -5).

Примеры для пространственных задач

Пример 4. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).

Решение: AB = {3 — 1; 1 — 4; 1 — 5} = {2; -3; -4}.

Пример 5. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2}, если координаты точки A(3; -4; 3).

Решение:

AB_x = B_x — A_x   =>   B_x = AB_x + A_x   =>   B_x = 5 + 3 = 8
AB_y = B_y — A_y   =>   B_y = AB_y + A_y   =>   B_y = 1 + (-4) = -3
AB_z = B_z — A_z   =>   B_z = AB_z + A_z   =>   B_z = 2 + 3 = 5

Ответ: B(8; -3; 5).

Пример 6. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4}, если координаты точки B(3; -4; 1).

Решение:

AB_x = B_x — A_x   =>   A_x = B_x — AB_x   =>   A_x = 3 — 5 = -2
AB_y = B_y — A_y   =>   A_y = B_y — AB_y   =>   A_y = -4 — 1 = -5
AB_z = B_z — A_z   =>   A_z = B_z — AB_z   =>   A_z = 1 — 4 = -3

Ответ: A(-2; -5; -3).

Примеры для n -мерного пространства

Пример 7. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5; 5; -3), B(3; 0; 1; -2; 5).

Решение: AB = {3 — 1; 0 — 4; 1 — 5; -2 — 5; 5 — (-3)} = {2; -4; -4; -7; 8}.

Пример 8. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2; 1}, если координаты точки A(3; -4; 3; 2).

Решение:

AB₁ = B₁ — A₁   =>   B₁ = AB₁ + A₁   =>   B₁ = 5 + 3 = 8
AB₂ = B₂ — A₂   =>   B₂ = AB₂ + A₂   =>   B₂ = 1 + (-4) = -3
AB₃ = B₃ — A₃   =>   B₃ = AB₃ + A₃   =>   B₃ = 2 + 3 = 5
AB₄ = B₄ — A₄   =>   B₄ = AB₄ + A₄   =>   B₄ = 1 + 2 = 3

Ответ: B(8; -3; 5; 3).

Пример 9. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4; 5}, если координаты точки B(3; -4; 1; 8).

Решение:

AB₁ = B₁ — A₁   =>   A₁ = B₁ — AB₁   =>   A₁ = 3 — 5 = -2
AB₂ = B₂ — A₂   =>   A₂ = B₂ — AB₂   =>   A₂ = -4 — 1 = -5
AB₃ = B₃ — A₃   =>   A₃ = B₃ — AB₃   =>   A₃ = 1 — 4 = -3
AB₄ = B₄ — A₄   =>   A₄ = B₄ — AB₄   =>   A₄ = 8 — 5 = 3