Види комп’ютерної графіки: Фрактальна графіка

Фрактальна графіка

Фрактальна графіка — технологія створення зображень на основі фракталів. 

Фрактальна графіка базується на фрактальній геометрії.

Найвідомішими фрактальними об’єктами є дерева: від кожної гілки відходять менші, схожі на неї, від них — ще менші. За окремою гілкою математичними методами можна відслідкувати властивості всього дерева. Фрактальні властивості мають такі природні об’єкти, як: сніжинка, що при збільшенні виявляється фракталом; за фрактальними алгоритмами ростуть кристали та рослини.

Фрактальне зображення, котре складається з подібних між собою елементів. Побудова відбувається шляхом автоматичної генерації зображень за формулами. Фрактал — це об’єкт, окремі елементи якого успадковують якості батьківських структур. Слово фрактал утворене від латинського лат. fractus і в перекладі означає складається з фрагментів. Воно було запропоноване Бенуа Мандельбротом в 1975 році для позначення нерегулярних, проте слабкоподібних структур, якими він займався.
Народження фрактальної геометрії прийнято пов’язувати з виходом в 1977 році книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature». У його роботах використані наукові результати інших учених, що працювали в 1875–1925 роках в тій же області (Анрі Пуанкаре, Фату П’єр, Жюліа Гастон Моріс, Георг Кантор, Фелікс Гаусдорф). Але тільки у наш час вдалося об’єднати їх роботи в єдину систему. Самоподібність – одна з основних властивостей фракталів. Об’єкт називають самоподібним, коли збільшені частини об’єкту схожі на сам об’єкт і один до одного. Поява нових елементів меншого розміру відбувається за простим алгоритмом. Очевидно, що описати подібні об’єкти можна всього лише декількома математичними рівняннями.

Трикутники можна добудовувати аналогічним чином до нескінченності. Ми можемо отримати об’єкт будь-якого рівня складності, використовуючи простий алгоритм. При цьому нічого, крім самих рівнянь, які займають декілька байт, у пам’яті комп’ютера зберігати не треба! Уся інформація, необхідна для відтворення цього фрактала, займає всього лише десятки байт! Звичайно, виникло питання — а чи можна стиснути будь-яку інформацію, підібравши необхідний фрактальний алгоритм? Принципово можна, і на заході активно ведуться роботи в цьому напрямку. 

Таким чином, фрактали є цікавим об’єктом для вивчення за двома основними причинами:

• фрактали є одними з найкращих моделей живої природи;
• їх дослідження відкриває нові перспективи для стиснення інформації.

Існує багато програм для створення фрактальних зображень, ось деякі з них: Art Dabbler, Ultra Fractal, Fractal Explorer

Пропоную подивитися це відео про фрактальну графіку:

 

Графікою фрактальної — Лекції з комп’ютерної графіки

Тема № 1. Введення в комп графіку.doc (1 стор.)
Тема № 2. Апаратне забезпечення ЕВМ.doc (1 стор.)
Тема № 3. Представлення графічних данних.doc (1 стор.)
Тема № 4. Фрактальна графіка.doc (1 стор.)
Тема № 5. Растрова графіка.doc (1 стор.)
Тема № 6. Векторна графіка.doc (1 стор.)
Тема № 7. Тривимірна графіка.doc (1 стор.)
Тема № 8. Базові растрові алгорітми.doc (1 стор.)
Оригінал
ТЕМА № 4. Графікою фрактальної

Поняття фрактала та історія появи фрактальної графіки. Поняття розмірності та її розрахунок. Геометричні фрактали. Алгебраїчні фрактали. Системи ітеріруемих функцій. Стохастичні фрактали. Фрактали і хаос.
Поняття фрактала та історія появи фрактальної графіки

Ви, напевно, часто бачили досить хитромудрі картини, на яких незрозуміло що зображено, але все одно незвичайність їх форм заворожує і приковує увагу. Як правило, це хитромудрі форми не піддаються, здавалося б, будь-якому математичному опису. Ви, наприклад, бачили візерунки на склі після морозу або, приміром, хитромудрі плями, залишені на аркуші чорнильною ручкою, так от щось подібне цілком можна записати у вигляді деякого алгоритму, а, отже, доступно порозумітися з комп’ютером. Подібні безлічі називають фрактальними. Кантор за допомогою простої рекурсивної (повторюваної) процедури перетворив лінію в набір незв’язаних крапок (так звана Пил Кантора). Він брав лінію і видаляв центральну третину і після цього повторював те ж саме з відрізками. Пеано намалював особливий вид лінії (див. рис). Для її малювання Пеано використовував наступний алгоритм.

На першому кроці він брав пряму лінію і замінював її на 9 відрізків довгою в 3 рази меншою, ніж довга вихідної лінії (Частина 1 і 2 малюнка 1). Далі він робив те ж саме з кожним відрізком вийшла лінії. І так до нескінченності. Її унікальність у тому, що вона заповнює всю площину. Доведено, що для кожної точки на площині можна знайти точку, що належить лінії Пеано. Крива Пеано і пил Кантора виходили за рамки звичайних геометричних об’єктів. Вони не мали чіткої розмірності. Пил Кантора будувалася начебто на підставі одновимірної прямої, але складалася з точок, а крива Пеано будувалася на підставі одновимірної лінії, а в результаті виходила площину. У багатьох інших областях науки з’являлися завдання, вирішення яких призводило до дивним результатами, на подобу описаних (Броунівський рух, ціни на акції).

Аж до 20 століття йшло накопичення даних про такі дивні об’єкти, без якої або спроби їх систематизувати. Так було, поки за них не взявся Бенуа Мандельброт — батько сучасної фрактальної геометрії і слова фрактал. Працюючи в IBM математичним аналітиком, він вивчав шуми в електронних схемах, які неможливо було описати за допомогою статистики. Поступово зіставивши факти, він прийшов до відкриття нового напрямку в математиці — фрактальної геометрії.

Сам Мандельброт вивів слово fractal від латинського слова fractus, що означає розбитий (поділений на частини). І одне з визначень фрактала — це геометрична фігура, що складається з частин і яка може бути поділена на частини, кожна з яких представлятиме зменшену копію цілого (принаймні, приблизно).

Як тільки Мандельброт відкрив поняття фрактала, виявилося, що ми буквально оточені ними. Фрактальна злитки металу і гірські породи, Фрактальна розташування гілок, візерунки листя, капілярна система рослин; кровоносна, нервова, лімфатична системи в організмах тварин, Фрактальна річкові басейни, поверхня хмар, лінії морських узбереж, гірський рельєф …

Щоб уявити собі фрактал понагляднее розглянемо приклад, наведений у книзі Б.Мандельброта «Фрактальна геометрія природи» став класичним — «Яка довжина берега Британії?». Відповідь на це питання не так простий, як здається. Все залежить від довжини інструменту, яким ми будемо користуватися. Помірявши берег за допомогою кілометрової лінійки ми отримаємо якусь довжину. Однак ми пропустимо багато невеликих заливчик і полуостровков, які за розміром набагато менше нашої лінійки. Зменшивши розмір лінійки до, скажімо, 1 метра — ми врахуємо ці деталі ландшафту, і, відповідно довжина берега стане більше. Підемо далі і виміряємо довжину берега за допомогою міліметрової лінійки, ми тут врахуємо деталі, які більше міліметра, довжина буде ще більше. У підсумку відповідь на такий, здавалося б, просте питання може поставити в глухий кут кого завгодно — довжина берега Британії нескінченна.

Основна властивість фракталів — самоподібність. Будь мікроскопічний фрагмент фрактала в тому чи іншому відношенні відтворює його глобальну структуру. У найпростішому випадку частина фрактала являє собою просто зменшений цілий фрактал.

Звідси основний рецепт побудови фракталів: Візьми простий мотив і повторюй його, постійно зменшуючи розміри. Зрештою вийде структура, яка відтворює цей мотив у всіх масштабах.

Беремо відрізок і середню його третину переламуються під кутом 60 градусів. Потім повторюємо цю операцію з кожною з частин вийшла ламаної — і так до нескінченності. У результаті ми отримаємо найпростіший фрактал — триадную криву, яку в 1904 році відкрила математик Хельга фон Кох.

Якщо на кожному кроці не тільки зменшувати основний мотив, але також зміщувати і повертати його, можна отримати більш цікаві та реалістично виглядають освіти, наприклад, лист папороті або навіть цілі їх зарості. Рис. Безліч Мандельброта

Для його побудови нам необхідні комплексні числа. Комплексне число — це число, що складається з двох частин — дійсної та уявної, і позначається воно a + bi. Дійсна частина a це звичайне число в нашому уявленні, а bi — уявна частина. i — називають уявною одиницею, тому, що якщо ми зведемо i в квадрат, то отримаємо -1.

Комплексні числа можна складати, віднімати, множити, ділити, зводити в ступінь і витягувати корінь, не можна тільки їх порівнювати. Комплексне число можна зобразити як точку на площині, у якої координата Х це дійсна частина a, а Y це коефіцієнт при уявній частині b.

Функціонально безліч Мандельброта визначається як Zn +1 = Zn * Zn + C. Для побудови множини Мандельброта скористаємося алгоритмом на Бейсике.

For a = -2 to 2 ‘для всіх дійсних а від -2 до 2

For b = -2 to 2 ‘для всіх уявних b від -2 до 2

С = a + bi

Z0 = 0 +0 i

‘Належить безлічі Мандельброта

Lake = True

‘Повторюємо 255 раз (для режиму 256 кольорів)

For iteration = 1 to 255

Zn = Z0 * Z0 + C

‘Перевірили — не належить

If abs (Zn)> 2 then Lake = False: Exit For

Z0 = Zn

Next

‘Намалювали чорну точку, що належить «озеру» Мандельброта.

If Lake = True Then PutPixel (a, b, BLACK)

‘Намалювали крапку не приналежну безлічі або лежачу на кордоні.

Else PutPixel (a, b, iteration)

Next

Next

А тепер опишу програмку словами. Для всіх точок на комплексній площині в інтервалі від -2 +2 i до 2 +2 i виконуємо деякий досить велику кількість разів Zn = Z0 * Z0 + C, щоразу перевіряючи абсолютне значення Zn. Якщо це значення більше 2, що малюємо точку з кольором рівним номеру ітерації на якому абсолютне значення перевищило 2, інакше малюємо точку чорного кольору. Всі безліч Мандельброта в повній красі у нас перед очима.

Чорний колір в середині показує, що в цих точках функція прагне до нуля — це і є безліч Мандельброта. За межами цієї множини функція прагне до нескінченності. А найцікавіше це межі множини. Вони то і є фрактальними. На кордонах цієї множини функція поводиться непередбачувано — хаотично.

Міняючи функцію, умови виходу з циклу можна отримувати інші фрактали. Майкла Барнслі з технологічного інституту штату Джорджія. Він намагався кодувати зображення за допомогою фракталів. Запатентувавши кілька ідей з кодування зображень за допомогою фракталів, він заснував фірму «Iterated Systems», яка через деякий час випустила перший продукт «Images Incorporated», в якому можна було зображення переводити з растрової форми у фрактальну FIF.

Це дозволяло домогтися високих ступенів стиснення. При низьких ступенях стиснення якість малюнків поступалося якістю формату JPEG, але при високих картинки виходили більш якісними. У будь-якому випадку цей формат не прижився, але роботи з його вдосконалення ведуться до цих пір. Адже цей формат не залежить від дозволу зображення. Оскільки зображення закодовано за допомогою формул, то його можна збільшити до будь-яких розмірів і при цьому будуть з’являтися нові деталі, а не просто збільшиться розмір пікселів.

Якщо в L-systems (алгебраїчних фракталах) йшлося про заміну прямої лінії якимсь полігоном, то в IFS ми в ході кожної ітерації замінюємо якийсь полігон (квадрат, трикутник, коло) на набір полігонів, кожен їх яких підданий афінних перетворень.

Фрактали і хаос

Поняття фрактал нерозривно пов’язане з поняттям хаос. Хаос — це відсутність передбачуваності. Хаос виникає в динамічних системах, коли для двох дуже близьких початкових значень система веде себе зовсім по-різному. Приклад хаотичною динамічної системи — погода (метеорологи жартують: «Помах крила метелика в Техасі приводить до урагану у Флориді»).

Добре проілюструвати хаотичне поведінку можна за допомогою так званого logistic equation x = c * x (1-x). Настав цей вираз з біології, т.к. це груба модель популяції тварин. Так от при дослідженні поведінки цієї функції з’ясувалася цікава її особливість. Якщо с — фактор росту популяції знаходиться в межах від 1 до 3, то через деякий кількість ітерацій популяція стабілізується.

При с = 3 наша функція роздвоюється — через певне число ітерацій приходимо до ситуації, коли висока популяція в один рік змінюється низькою в наступний і значення виразу як би скаче між двома значеннями.

При с = 3.45 вона роздвоюється знову і у нас вже є чотирирічний цикл.

Далі при зростанні з функція роздвоюється все швидше і швидше: при с = 3.54, с = 3.564, с = 3.569 …

І в точці 3.57 починається хаос. Значення виразу не мають який або періодичності або структури. На малюнку зображена залежність поведінки функції від величини с.

«Фрактальна графіка: основні поняття»

Реферат з дисципліни Комп’ютерний дизайн та мультимедія на тему: «Фрактальна графіка: основні поняття» ЗМІСТ 1.Види комп’ютерної графіки 2 2.Фрактал. Історія його виникнення 4 3.Види фракталів та методи їх створення 6 4.Типи самоподібності у фракталах та їх розмірність 8 5.Класифікація алгоритмів створення фракталів 10 Висновки 12 Список використаної літератури 13 Види комп’ютерної графіки Розрізняють три види комп’ютерної графіки. Це растрова графіка, векторна графіка і фрактальна графіка. Вони відрізняються принципами формування зображення при відображенні на екрані монітора або при друці на папері. У растровій графіці зображення представляється у вигляді набору забарвлених точок. Такий метод представлення зображення називають растровим. Растрову графіку застосовують при розробці електронних (мультимедійних) і поліграфічних видань. Ілюстрації, виконані засобами растрової графіки, рідко створюють вручну за допомогою комп’ютерних програм. Найчастіше для цієї мети використовують скановані ілюстрації, підготовлені художниками, або фотографії. Останнім часом для введення растрових зображень в комп’ютер знайшли широке застосування цифрові фото-і відеокамери [3, с. 54]. Більшість графічних редакторів, призначених для роботи з растровими ілюстраціями, орієнтовані не стільки на створення зображень, скільки на їх обробку. В Інтернеті поки застосовуються тільки растрові ілюстрації. Векторний метод — це метод подання зображення у вигляді сукупності відрізків і дуг і т.д. У даному випадку вектор — це набір даних, що характеризують який-небудь об’єкт. Програмні засоби для роботи з векторною графікою призначені в першу чергу для створення ілюстрацій і в меншій мірі для їх обробки. Такі засоби широко використовують в рекламних агентствах, дизайнерських бюро, редакціях і видавництвах. Оформлювальні роботи, засновані на застосуванні шрифтів і найпростіших геометричних елементів, вирішуються засобами векторної графіки набагато простіше [3, с. 55] . Растрове зображення будується з безлічі пікселів. Векторне зображення описується у вигляді послідовності команд. Растрові малюнки ефективно використовуються для представлення реальних образів. Векторна графіка не дозволяє одержувати зображення фотографічної якості. При масштабуванні і обертанні растрових картинок виникають спотворення. Векторні зображення можуть бути легко перетворені без втрати якості. Растрові малюнки можуть бути легко надруковані на принтерах. Векторні малюнки іноді не друкуються або виглядають на папері не так, як хотілося б. Програмні засоби для роботи з графікою фрактальної призначені для автоматичної генерації зображень шляхом математичних розрахунків. Створення фрактальної художньої композиції полягає не в малюванні або оформленні, а в програмуванні. Фрактальна графіка, як і векторна — обчислюється, але відрізняється від неї тим, що ніякі об’єкти в пам’яті комп’ютера не зберігаються. Зображення будується за рівнянням (або по системі рівнянь), тому нічого, крім формули, зберігати не треба. Змінивши коефіцієнти у рівнянні, можна отримати зовсім іншу картину. Здатність фрактальної графіки моделювати образи живої природи обчислювальним шляхом часто використовують для автоматичної генерації незвичних ілюстрацій [2, с. 105]. Фрактал. Історія його виникнення Все, що створено людиною, обмежено площинами. Коли зустрічається об’єкт у природі, то спочатку можна побачити, що описати його форму можна лише наближено й допоможуть в цьому фрактали. Де закінчуються правильні форми Евклідової геометрії, там зустрічаються фрактали. Фрактал (лат. fractus — подрібнений, дробовий) – нерегулярна, самоподібна структура. У широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої [10, с. 72]. Об’єкти, які тепер називаються фракталами, досліджувались задовго до того, як їм було дано таку назву. В етноматематиці, наприклад в роботах Рона Еглаша «Африканські Фрактали», задокументовано поширені фрактальні геометричні фігури в мистецтві тубільців. У 1525 році німецький митець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю “Керівництво Художника”, один із розділів якої має назву «Черепичні шаблони, утворені пентагонами». Пентагон Дюрера багато в чому є схожим на килим Серпінського, але замість квадратів використовуються п’ятикутники. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тих років) малював об’єкти, дуже схожі на фрактали [1, с. 21]. Ідею «рекурсивної самоподібності» було висунуто філософом Лейбніцом, який також розробив багато з деталей цієї ідеї. У 1872 Карл Веєрштрасс знайшов приклад функції з неінтуітивною особливістю, скрізь неперервної, але ніде недиференційованої — графік цієї функції тепер називався б фракталом. У 1904 Хельга Фон Кох, незадоволений занадто абстрактним та аналітичним означенням Веєрштрасса, розробив більш геометричне означення схожої функції, яка тепер має назву сніжинки Коха. Ідею самоподібних кривих, котрі складаються із частин, схожих на ціле, було далі розвинено Полем П’єром Леві, який у своїй роботі «Криві та поверхні на площині та у просторі», виданій 1938 року, описав нову фрактальну криву, відому тепер як Крива Леві (мал.1 а, б, в) [10, с. 73]. а) б) в) Мал.1 Ґеорг Кантор навів приклади підмножин дійсних чисел із незвичними властивостями — ці множини Кантора тепер також визнаються як фрактали. Ітераційні функції на комплексній площині досліджувались в кінці XIX та на початку XX століття Анрі Пуанкаре, Феліксом Кляйном, П’єром Фату та Ґастоном Жюліа. Проте за браком сучасної комп’ютерної графіки у них забракло засобів відобразити красу багатьох із відкритих ними об’єктів. У 1975 році Мандельброт використав слово фрактал як назву для об’єктів, розмірність Хаусдорфа яких є більшою за топологічну розмірність, наприклад Крива Хильберта (мал.2 а,б,в,г) [8, с. 15]. Мал.2 Види фракталів та методи їх створення Існують три поширені методи створення (генерування) фракталів: Перший метод — ітераційні функції, які будуються відповідно до фіксованого правила геометричних заміщень, в результаті яких утворюються геометричні фрактали, наприклад: сніжинка Коха (мал.4) [4, с. 27]. Мал.3 А також множина Кантора, килим Серпінського, трикутник Серпінського, крива Пєано, крива Коха, крива дракона, Т-Квадрат та губка Менгера є прикладами геометричних фракталів. Другий метод — рекурентні відношення, це фрактали, що визначаються рекурентним відношенням у кожній точці простору (такому як площина комплексних чисел). Отримані таким методом фрактали називають алгебраїчними [4, с. 28]. Прикладами алгебраїчних фракталів є множина Мандельброта (мал.4), палаючий корабель та фрактал Ляпунова. Мал.4 Третій метод — випадкові процеси, це фрактали, що генеруються з використанням стохастичних, а не детермінованих процесів, наприклад: фрактальні ландшафти (мал.5 а,б,в,г,д), траєкторія Леві та броунівське дерево [4, с. 28]. Мал.5. Типи самоподібності у фракталах та їх розмірність Розрізняють три типи самоподібності у фракталах: Точна самоподібність — це найсильніший тип самоподібності; фрактал виглядає однаково при різних збільшеннях. У фракталів, згенерованих з використанням ітераційних функцій, часто виявляється точна самоподібність. Майже самоподібність — слабка форма самоподібності; фрактал виглядає приблизно (але не точно) самоподібним при різних збільшеннях. Майже самоподібні фрактали містять малі копії цілого фракталу у перекручених та вироджених формах. Фрактали, згенеровані з використанням рекурентних відношень, зазвичай є майже (але не точно) самоподібними. Статистична самоподібність — це найслабкіша форма самоподібності; фрактал має чисельні або статистичні міри, що зберігаються при збільшенні. Найприйнятніші означення «фракталів» просто містять в собі деякий вид статистичної самоподібності (розмірність фракталу, саме по собі, є чисельною мірою, що зберігається при збільшенні). Ймовірнісні фрактали є прикладами фракталів, які є статистично, але не майже й не точно самоподібними [6, с. 94]. У евклідової геометрії є поняття розмірності: розмірність крапки — нуль, відрізка та кола — одиниця, круга і сфери — два, кулі — три. З одновимірними об’єктами ми пов’язуємо поняття довжини, з двовимірними — площі і так далі. Але як можна уявити собі множину з розмірністю 3/2? Мабуть, для цього потрібно щось проміжне між довжиною і площею, і якщо довжину умовно назвати 1-мірою, а площа — 2-мірою, то потрібна (3/2) -міра. У 1919 році Ф. Хаусдорф дійсно визначив таку а-міру і на цій основі кожній множині в евклідовому просторі підставив число, назване їм метричною розмірністю. Він же навів перші приклади множин з дробовою розмірністю. Виявилось, що дробову розмірність мають канторова множина, крива Коха і інші екзотичні об’єкти, до недавнього часу маловідомі за межами математики [9, с. 122]. Оскільки фрактал складається з нескінченного числа елементів, що повторюються, неможливо точно виміряти його довжину. Це означає, що чим точнішим інструментом ми будемо його вимірювати, тим більшою виявиться його довжина. Тоді як гладка евклідова лінія заповнює в точності одновимірний простір, фрактальна лінія виходить за межі одновимірного простору, вторгаючись у двовимірне. Таким чином, фрактальна розмірність кривої Коха знаходитиметься між 1 і 2. Найдивовижнішим виявляється те, що й багато природних об’єктів володіють ніби дробовою розмірністю, хоча, відверто кажучи, для природних об’єктів таку розмірність обчислити неможливо. Правильніше сказати, що в певних діапазонах спостереження природні об’єкти, що виникли в результаті довгої дифузії й абсорбції, схожі на фрактальні множини. Наприклад, розмірність побережжя лежить між 1,01 і 1,6, а кровоносної системи людини — між 3,4 і 3,6 [9, с. 123] Класифікація алгоритмів створення фракталів Бенуа Мандельброт в своїх книгах навів яскраві приклади вживання фракталів до пояснення деяких природних явищ. Мандельброт приділив велику увагу цікавій властивості, якою володіють багато фракталів. Річ у тому, що часто фрактал можна розбити на скільки завгодно малі частини так, що кожна частина виявиться просто зменшеною копією цілого. Інакше кажучи, якщо ми дивитимемося на фрактал в мікроскоп, то із здивуванням побачимо ту ж саму картину, що і без мікроскопа. Це властивість самоподібності різко відрізняє фрактали від об’єктів класичної геометрії. Необхідно відзначити, що властивість самоподiбностi характерна лише для регулярних фракталів.Багато регулярних фракталів будуються шляхом нескiнченного повторення декількох простих операцій — заміною одного елементу деякою комбінацією інших, йому подібних. Потім ця ж операція повторюється з кожним з цих елементів, і так далі до нескінченності. На методі простої заміни заснований перший алгоритм побудови фракталів [7, с. 53]. Виникає питання, чи не можна цю «процедуру заміни» перекласти мовою математичних формул. Таким чином, в середині 80-х років з’явився метод Систем Ітеріруємих Функцій — СІФ (Iterated Function System — IFS) як простий засіб здобуття фрактальних структур. Таким чином, деякі з вищеперелічених фракталів можна отримати за допомогою методу СІФ. Метод Систем Ітеріруємих функцій є основою для другого алгоритму побудови фрактальних структур. Замість детермінованого способу побудови регулярних фракталів в алгоритм створення фрактальних структур був включений деякий елемент випадковості, що приводить до побудови випадкових фракталів. Багато фракталів можуть бути отримані за допомогою цих двох алгоритмів. Тоді в першому випадку вони побудовані як регулярні фрактали, а в другому як випадкові. Одним з найбільш яскравих прикладів серед різних систем ітеріруємих функцій є відкрита система М. Бранслі з чотирьох стискуючих афінних перетворень, аттрактором для якої є множина точок, яка дуже нагадує по формі зображення листа папороті [7, с. 54]. Мал.6 Третім алгоритмом створення фрактальних об’єктів на площині є використання комплексних відображень, що зіставляють одному комплексному числу інше комплексне число за деяким ітераційним правилом. Прикладом фрактала отриманого за допомогою комплексних відображень є множина Жюліа (мал.6) [7]. Висновки Фрактал є однією з багатьох складових частин певної субстанції, тому зникнення однієї з таких складових призводить до втрати візуальної гармонії, що людське око розпізнає одразу. Присутність фрактала з першого погляду можна і не помітити, якщо не заглиблюватись у досконале вивчення математики. Ця наука, дійсно, не має меж і постійно спонукає до різноманітних досліджень. Фрактал — це математична величина, що зустрічається досить часто. Але якщо добре не придивитися, його можна і не побачити. Абсолютно точна, алгебраїчна величина, яка творить собою неймовірні фігури, візерунки та складає цікаві орнаменти, що ми зустрічаємо кожного дня. Це і листя папороті, і маленькі сніжинки та ще багато іншого. Галілео Галілей у 1623 році писав: “Вся наука записана у цій великій книзі, — я маю на увазі Всесвіт, — що завжди відкрита для нас, але яку неможливо зрозуміти, не навчившись розуміти мову, на якій вона написана, а написана вона на мові математики, і її лутерами є трикутники, кола і інші геометричні фігури, без яких людині не можливо розібрати жодного її слова; без них вона подібна блукаючому в пітьмі…” Поняття фрактала змінило багато традиційних уявлень про геометрію, а в історії розвитку математики введення цього поняття стало переломним моментом. З кожним роком поняття фрактала стає відоме все більш широкому колу людей. І зараз цей термін важко залишити без належної уваги. У природі є багато чого, що має прямий зв’язок до цього терміну. Геометричні фрактали на екрані комп’ютера — це візерунки, побудовані самим комп’ютером за заданою програмою. Крім фрактальної живописі існують фрактальна анімація і фрактальна музика. Творець фракталів — це художник, скульптор, фотограф, винахідник і вчений в одній особі. Ви самі ставите форму малюнка математичною формулою, досліджуєте збіжність процесу, варіюючи його параметри, вибираєте вигляд зображення і палітру кольорів, тобто творите малюнок «з нуля». Список використаної літератури Андрєєв О.Ю., Музиченко В.Л. Самовчитель комп’ютерної графіки. Навчальний посібник. — М.: Тріумф, 2007. — 432 с. Божко А., Жук Д.М., Маничев В.Б. Комп’ютерна графіка. Гриф УМО ВНЗ Росії. — М.: Видавництво «МГТУ ім. Баумана », 2007. — 392 с. Вишневська Л. Комп’ютерна графіка для школярів. — М.: Нове знання, 2007. — 160 с. Джеф Проузіс. Як працює комп’ютерна графіка. — СПб.: Питер, 2008. — 654 с. Жвалевський А., Гурська І, Гурський Ю. Комп’ютерна графіка: Photoshop CS3, CorelDRAW X3, Illustrator CS3. Трюки й ефекти. — СПб.: Пітер, 2008. — 992 с. Летінен А., Пашковський І., Летінен О. Комп’ютерна графіка. Гриф МО РФ. — М.: Форум, 2007. — 256 с. Мандельброт Б. Фрактальна геометрія природи. — М. Інститут комп’ютерних досліджень, 2012. Пайтген Х. О., Ріхтер П. Х. Краса фракталів. — М.: Мир, 2013. Федер Е. Фрактали. — М: Мир, 2011. Сергєєв А., Кущенко С. Основи комп’ютерної графіки. Adobe Photoshop і CorelDRAW — два в одному. Самовчитель. — М.: Діалектика, 2007. — 544 с. Шредер М. Фрактали, хаос, статечні закони. Мініатюри з нескінченного раю. – К.: Наука, 2011. скачати

Комп’ютерна графіка: Фрактальна графіка

Фрактальна графіка базується на фрактальній геометрії. Найвідомішими фрактальними об’єктами є дерева: від кожної гілки  відходять меньші,схожі на неї, від них — ще меньші. За окремою гілкою математичними методами можна відслідкувати властивості всього дерева. Фрактальні властивості мають такі природні об’єкти, як: сніжинка, що при збільшенні виявляється фракталом; за фрактальними алгоритмами ростуть крістали та рослини. Поява нових елементів меншого розміру відбувається за певним вибачимо алгоритмом. Очевидно, що описати подібні об’єкти можна всього лише декількома математичними рівняннями! Значення фракталів у машинній графіці сьогодні досить значне. Вони приходять на допомогу, наприклад, коли потрібно, за допомогою декількох коефіцієнтів, задати лінії і поверхні дуже складної форми. З точки зору машинної графіки, фрактальна геометрія незамінна під час генерації штучних хмар, гір, поверхні моря. Фактично знайдений спосіб легкого уявлення неевклідових об’єктів, взірці яких дуже схожі на природні. Однією з основних властивостей фракталів є самоподібність. У самому простому випадку невелика частина фракталу містить інформацію про весь фрактал. Фрактал – структура, яка складається з частин, які в якомусь розумінні подібні цілому. Таке визначення фракталу дав Мандельброт. Фрактальна графіка, як і векторна, заснована на математичних обчисленнях. Однак, базовим елементом є математична формула, ніяких об’єктів біля пам’яті комп’ютера не зберігається і зображення будується виключно по рівняння. Фрактальна графіка міститься пакетах для наукової візуалізації для побудови, як найпростіших структур так і складних ілюстрацій, що імітують природні процеси та тривимірні об’єкти. 2. Класифікація фракталів Існують такі види фракталів: 1) геометричні, 2) алгебраїчні, 3) стохастичні, 4) системи ітеруючих функцій. Геометричні фрактали Саме з них і починалася історія фракталів. Цей тип фракталів отримують шляхом простих геометричних побудов. Зазвичай при побудові цих фракталів поступають так: береться «приманка» — аксіома — набір відрізків, на підставі яких будуватиметься фрактал. Далі до цієї «приманки» застосовують набір правил, який перетворить її у будь-яку геометричну фігуру. Фрактали цього класу самі наочні. У двомірному випадку їх отримують за допомогою деякої ломаної (чи поверхні в трьохмірному випадку), яка називається генератором. За один крок алгоритму кожен із відрізків, які складають ломану, замінюється на ломану-генератор, у відповідному масштабі. У результаті безкінечного повторення цієї процедури, отримується геометричний фрактал. Для побудови шикування геометричних фрактальних кривих використовуються рекурсивні алгоритми.  Рекурсія використовується при вирішенні завдань задач, які можуть бути розкладені розкладати на декілька підзадач. Таким чином, застосування вживання  рекурсії доцільне при побудові шикуванні фрактальних кривих, оскільки тому що вони володіють такою властивістю як самоподібність.

Блог Каляфіцького Сергія: Комп’ютерна графіка

Ми навіть не можемо собі уявити, скільки є різновидів комп’ютерної графіки, і об’єктів, що оточують нас створених за допомогою неї. Ось на столі стоїть рамка з фотографією сина. Він стоїть на фоні Ейфелевої вежі. А ось диск з улюбленим фільмом, які фантастичні спец ефекти в ній застосовані, захоплює дух! А ось газета з рекламними оголошеннями, яку щотижня ви знаходите в поштовій скриньці. Подумати тільки. Все це, і реклама в газеті і на ТБ, і веб-сайти, і фотографія сина, і улюблений фільм, є плодами комп’ютерної графіки. Тільки створені ці продукти були за допомогою різних програм і технологій. Розглянемо основні поняття і можливості комп’ютерної графіки.

   Фахівці розрізняють кілька видів комп’ютерної графіки, векторна графіка, растрова графіка, фрактальна графіка, 3D графіка, анімація. Кожен вид графіки гарний тільки для певних цілей. Припустимо, векторна графіка необхідна для створення зображень придатних для поліграфії, а растрова хороша для обробки готових зображень, фотографій. Фрактальну графіку в основному застосовують для створення незвичайних текстур, фонів, елементів зображень, для подальшої обробки в інших графічних редакторах.     Растрова графіка оперує таким поняттям як — точка. Точка має колір, яскравість, прозорість. Будь-які растрові зображення складаються з точок — пікселів, і мають розмір і дозвіл. Растрові зображення містять великий обсяг даних, простіше кажучи, вони «важкі». Так як растрове зображення складається з точок, його розмір неможливо змінити без втрати якості зображення. При збільшенні масштабу, зображення розбивається на пікселі, зменшення ж веде до втрати деяких дрібних деталей. Змінити розмір можливо і, змінюючи кількість пікселів на дюйм, що веде до втрати його якості.    Векторна комп’ютерна графіка являє собою набір координат, векторів, і інших чисел, що характеризують набір примітивів, точок, прямих, кіл, квадратів. Слід пам’ятати, що при відображенні малюнка має велике значення черговість створення об’єктів, так як раніше створені об’єкти перекриваються більш пізніми. Векторне зображення можна без втрат масштабувати, повертати, змінювати. Тому векторна графіка широко застосовується при створенні рекламних банерів, елементів корпоративного стилю, схем, шрифтів.     Фрактальна графіка відрізняється тим, що ніякі об’єкти не зберігаються в її пам’яті. Вони створюються за допомогою формул і рівнянь. Змінюючи коефіцієнти рівняння можна створити абсолютно нову картину. Найпростішим об’єктом фрактальної графіки є фрактальний трикутник. Згідно заданому математичному алгоритму створюється зображення. Нові об’єкти будуються, наслідуючи властивості батьківських структур.     Для створення і обробки растрових зображень існують растрові графічні редактори, такі як Adobe Photoshop, Ulead PhotoImpact, Jasc Paint Shop Pro і Paint, що входить до складу всіх операційних систем Windows. Ці програми призначені для створення зображень, їх художньої обробки і корекції, монтажу композицій. Растрову графіку застосовують при розробці мультимедійних видань, при цьому використовують в основному готові зображення, відскановані малюнки, фотографії. Векторна комп’ютерна графіка створюється за допомогою: Adobe Illustrator, CorelDraw, Macromedia Freehand і інших. Вони призначені для виконання креслярських і оформлювальних робіт, розробки логотипів, створення схем, діаграм. Створити високохудожній твір за допомогою векторної графіки дуже складно, в основному її використовують для створення робіт заснованих на найпростіших геометричних елементах.

3.2.2. Відмінності зображення у растровій графіці та векторній графіці.

Відмінності зображення у растровій графіці та векторній графіці видно з Рис.3.4.

Рис.3.4 Зображення символу “І” в растровій графіках.

Для відображення векторних зображень на екрані монітора або роздруковування на принтері, його необхідно перевести в растрове зображення – провести кастрування. Для цього необхідно розрахувати кожну точку на растровому зображенні.

Деколи проводиться зворотній процес – векторизація або трасування, але в загальному ця задача є неоднозначною.

3.2.3 Сфери застосування векторної графіки:

• дизайн – при виготовленні логотипів,

• інженерні креслення,

• створення векторних (TrueType) шрифтів.

3.3 Фрактальна графіка

Як і у векторній графіці зображення будуються на основі формул, при цьому формулами описуються не окремі лінії та фігури, а цілі фрагменти зображень чи навіть все зображення в цілому. Причому зображення не обов’язково повинно складатися із якихось геометричних фігур, а лише включати такі об’єкти, які, для прикладу, дерева, поверхню води, гори, небо та багато інш.

На сьогодні вже розроблені технології за якими можна синтезувати коефіцієнти фрактала довільної складності і відтворювати довільну картинку (фотографію, яка надзвичайно близька до оригіналу.

Т.ч. фрактальна графіка займає проміжне місце між растровою та векторною графікою.

Фрактальна графіка не замінима при генеруванні штучної поверхні хмар, моря, гір і т.п. Ці можливості фрактальної графіки блискуче продемонстровано в графічних редакторах, зокрема, в редакторі фрактальної графіки Bryce 5.0. На основі фрактальної графіки працює, як вважають, кращий інструмент комп’ютерного художника — Corel Pointer. [7].

Формати графічних файлів

Формати графічних файлів – це набір методів, правил, призначених для представлення, зберігання, обробки й розповсюдження зображень, наданих у цифровій формі[8].

3.3.1 Растрові формати

Windows BitMaP (.bmp) – формати файлів растрових зображень, розроблений Microsoft. Використовується в основному Windows на комп’ютерах з процесорами Intel та сумісними з ними. Підтримується багатьма аплікаціями. Підтримує 256 кольорів, 16 – розрядні (RGB555) та 24 – розрядні кольори. Розмір зображення не обмежений. Підтримується метод стиснення RLE (Run-Length Encoding – метод стиснення файлів, при якому послідовна версія однакових елементів замінюється на два символи: елемент та число його повторів), що є методом стиснення без втрат. В результаті отримуються файли великих розмірів. Це зручний формат для обміну даними між різними аплікаціями Windows, але застосовувати його в мультимедіа аплікаціях не рекомендується.

Растрові формати відрізняються між собою колірними моделями, методами стиснення (ущільнення), порядком розташування байтів та бітів, максимально допустимим розміром зображення, шарами різних типів, наявністю каналу прозорості (Alpha – каналу), можливістю здійснювати анімацію, можливістю прогресивного методу відтворення тощо.

Як було зазначено, одним із недоліків растрових зображень є великий їхній об’єм, і запис пов’язаний із великими витратами пам’яті. Щоб зменшити вплив вказаного недоліку використовують стиснення інформації.

Анімація. Види анімації. | Тест з інформатики – «На Урок»

Запитання 1

Анімація -це…

варіанти відповідей

 це один із методів, за допомогою якого зображення передвигається.

це фігури які тільки зображені в презентації.

це метод, за допомогою якого фігури маніпулюють, щоб відображатись як рухомі зображення.

Запитання 2

Векторна графіка це….

варіанти відповідей

геометричне моделювання 

об’єктно-орієнтована графіка

фізичне моделювання

хімічне моделювання

Запитання 3

В яких сферах використовують комп’ютерна аніманію?

варіанти відповідей

конструкторське бюро

презентація підприємства

виробнича сфера

ділова, наукова і не виробнича сфера

в області розваг

Запитання 4

Растова графіка — це загальна комп’ютерна графіка?

варіанти відповідей

частиною комп’ютерної графіки

Запитання 5

Назвіть способи створення комп’ютерної графіки.

варіанти відповідей

Комп’ютерні графіки:растрова,векторна,тривимірна

Комп’ютерні графіки:растрова,векторна,фрактальна,тривимірна

Комп’ютерні графіки:растрова,векторна,фрактальна

Запитання 6

До якої графіки відноситься цей малюнок?

варіанти відповідей

тривимірна графіка

растрова графіка

фрактальна графіка

Запитання 7

До якої графіки відноситься цей малюнок?

варіанти відповідей

растова графіка

векторна графіка

фрактальна графіка

Запитання 8

До растрової графіки відносяться такі малюнки?

варіанти відповідей

Запитання 9

Який малюнок відноситься фрактальної графіки?

варіанти відповідей

Запитання 10

Технології, що дозволяють передати рух об’єкта або його частин називається….

варіанти відповідей

технологія анімації

технологія руху

Створюйте онлайн-тести
для контролю знань і залучення учнів
до активної роботи у класі та вдома

Створити тест

Натисніть «Подобається», щоб слідкувати за оновленнями на Facebook

Фрактал | математика | Britannica

Фрактал , в математике, любой из класса сложных геометрических фигур, которые обычно имеют «дробную размерность» — понятие, впервые введенное математиком Феликсом Хаусдорфом в 1918 году. Фракталы отличаются от простых фигур классических или евклидовых фигур. , геометрия — квадрат, круг, сфера и т. д. Они способны описывать многие объекты неправильной формы или пространственно неоднородные явления в природе, такие как береговые линии и горные хребты.Термин фрактал , образованный от латинского слова фрактус («фрагментированный» или «сломанный»), был придуман математиком польского происхождения Бенуа Б. Мандельбротом. Посмотрите анимацию фрактального набора Мандельброта.

Хотя ключевые концепции, связанные с фракталами, в течение многих лет изучались математиками, и многие примеры, такие как кривая Коха или «снежинка», были известны давно, Мандельброт был первым, кто указал, что фракталы могут быть идеальным инструментом в прикладной сфере. математика для моделирования различных явлений от физических объектов до поведения фондового рынка.С момента своего появления в 1975 году концепция фрактала породила новую систему геометрии, которая оказала значительное влияние на такие разнообразные области, как физическая химия, физиология и механика жидкости.

Подробнее по этой теме

сложность: фракталы

Обычным первым шагом в анализе динамической системы является определение того, какие начальные состояния демонстрируют аналогичное поведение.Потому что близлежащие штаты …

Многие фракталы обладают свойством самоподобия, если не точно, то хотя бы приблизительно. Самоподобный объект — это объект, составные части которого похожи на целое. Это повторение деталей или узоров происходит в постепенно уменьшающихся масштабах и может, в случае чисто абстрактных сущностей, продолжаться бесконечно, так что каждая часть каждой части при увеличении будет выглядеть в основном как фиксированная часть всего объекта. Фактически, самоподобный объект остается неизменным при изменении масштаба — т.е.е. имеет масштабную симметрию. Это фрактальное явление часто можно обнаружить в таких объектах, как снежинки и кора деревьев. Все естественные фракталы этого типа, а также некоторые математические самоподобные фракталы являются стохастическими или случайными; таким образом, они масштабируются в статистическом смысле.

Другой ключевой характеристикой фрактала является математический параметр, называемый его фрактальной размерностью. В отличие от евклидовой размерности, фрактальная размерность обычно выражается нецелым числом, то есть дробью, а не целым числом.Фрактальное измерение можно проиллюстрировать на конкретном примере: кривая снежинки, определенная Хельге фон Кохом в 1904 году. Это чисто математическая фигура с шестикратной симметрией, как у естественной снежинки. Он самоподобен тем, что состоит из трех идентичных частей, каждая из которых, в свою очередь, состоит из четырех частей, которые являются точными уменьшенными версиями целого. Отсюда следует, что каждая из четырех частей сама по себе состоит из четырех частей, которые являются уменьшенными версиями целого. Не было бы ничего удивительного, если бы коэффициент масштабирования также был равен четырем, поскольку это было бы верно для отрезка линии или дуги окружности.Однако для кривой «снежинка» коэффициент масштабирования на каждом этапе равен трем. Фрактальная размерность, D , обозначает степень, до которой 3 должно быть увеличено, чтобы получить 4, то есть 3 ^D = 4. Размер кривой снежинки, таким образом, составляет D = ^{log 4} / _{log 3} , или примерно 1,26. Фрактальная размерность — ключевое свойство и показатель сложности данной фигуры.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.Подпишитесь сейчас

Фрактальная геометрия с ее концепциями самоподобия и нецелой размерности все шире применяется в статистической механике, особенно при работе с физическими системами, состоящими из, казалось бы, случайных элементов. Например, фрактальное моделирование использовалось для построения графика распределения скоплений галактик по всей Вселенной и для изучения проблем, связанных с турбулентностью жидкости. Фрактальная геометрия также внесла свой вклад в компьютерную графику. Фрактальные алгоритмы позволили создавать реалистичные изображения сложных, очень необычных природных объектов, таких как пересеченная местность гор и замысловатые системы ветвей деревьев.

Руководство трейдера по использованию фракталов

Хотя цены могут показаться случайными, на самом деле они создают повторяющиеся модели и тенденции. Один из самых основных повторяющихся паттернов — фрактал. Фракталы — это простые модели разворота с пятью барами. Эта статья объяснит фракталы и то, как вы можете применить их к своей торговой стратегии.

Ключевые выводы

• Гипотеза фрактальных рынков анализирует ежедневную случайность рынка с помощью технического анализа и построения свечей.
• В нем исследуются горизонты инвестора, роль ликвидности и влияние информации на весь бизнес-цикл.
• Рынок считается стабильным, если он состоит из инвесторов с разными инвестиционными горизонтами при одинаковой информации.
• Аварии и кризисы случаются, когда инвестиционные стратегии сводятся к более коротким временным горизонтам.

Введение в фракталы

Когда люди слышат слово «фрактал», они часто думают о сложной математике.Мы говорим не об этом. Фракталы также относятся к повторяющейся модели, которая возникает на фоне более крупных и хаотичных ценовых движений.

Фракталы состоят из пяти или более баров. Правила определения фракталов следующие:

• Медвежий поворотный момент возникает, когда есть модель с самым высоким максимумом в середине и двумя более низкими максимумами с каждой стороны.
• Бычий поворотный момент происходит, когда есть модель с самым низким минимумом посередине и двумя более высокими минимумами с каждой стороны.

Показанные ниже фракталы являются двумя примерами идеальных паттернов. Обратите внимание, что может возникнуть множество других менее совершенных паттернов, но этот базовый паттерн должен оставаться неизменным, чтобы фрактал был действительным.

Изображение Джули Банг © Investopedia 2020

Очевидный недостаток здесь в том, что фракталы — это запаздывающие индикаторы. Фрактал можно нарисовать только через два дня после разворота. Однако наиболее значительные развороты продолжатся для большего количества баров, что принесет трейдеру пользу. Как только модель возникает, ожидается, что цена будет расти вслед за бычьим фракталом или падать после медвежьего фрактала.

Применение фракталов к торговле

Большинство графических платформ теперь предоставляют фракталы в качестве торгового индикатора. Это означает, что трейдерам не нужно искать паттерн. Примените индикатор к графику, и программа выделит все паттерны. Сделав это, трейдеры сразу же заметят проблему: этот паттерн встречается часто.

Фракталы лучше всего использовать вместе с другими индикаторами или формами анализа. Распространенным индикатором подтверждения, используемым с фракталами, является Аллигатор.Это инструмент, созданный с использованием нескольких скользящих средних. На графике ниже показан долгосрочный восходящий тренд, при котором цена преимущественно находится выше зубов аллигатора (средняя скользящая средняя). Поскольку тренд восходящий, можно использовать бычьи сигналы для генерации сигналов на покупку.

Хотя это немного сбивает с толку, медвежий фрактал обычно рисуется на графике со стрелкой вверх над ним. Бычьи фракталы нарисованы стрелкой вниз под ними. Поэтому, если вы используете фракталы в общем восходящем тренде, ищите фрактальные стрелки вниз (если вы используете индикатор фракталов, представленный на большинстве платформ для построения графиков).Если вы ищете медвежьи фракталы для торговли в более крупном нисходящем тренде, ищите фрактальные стрелки вверх.

Иногда переключение на более длительные периоды времени уменьшает количество фрактальных сигналов, что позволяет лучше видеть график и облегчает выявление торговых возможностей.

Эта система обеспечивает входы, но трейдер должен контролировать риск. В приведенном выше случае паттерн не распознается до тех пор, пока цена не начнет подниматься с недавнего минимума. Следовательно, после открытия сделки стоп-лосс может быть размещен ниже недавнего минимума.Если вы открываете короткую позицию во время нисходящего тренда, стоп-лосс может быть размещен выше недавнего максимума. Это всего лишь один пример того, где разместить стоп-лосс.

Другая стратегия — использовать фракталы с уровнями коррекции Фибоначчи. Одна из проблем с фракталами — это то, чем торговать. И одна из проблем с уровнями коррекции Фибоначчи заключается в том, какой уровень коррекции использовать. Комбинируя их, он сузит возможности, поскольку уровень Фибоначчи будет торговаться только в том случае, если фрактальный разворот происходит за пределами этого уровня.

Трейдеры также склонны сосредотачиваться на сделках с определенными коэффициентами Фибоначчи. Это может варьироваться в зависимости от трейдера, но скажем, что трейдер предпочитает открывать длинные сделки во время более сильного восходящего тренда, когда цена откатывается до уровня коррекции 61,8%. В стратегию могут быть добавлены фракталы: трейдер открывает сделки только в том случае, если фрактальный разворот происходит около уровня восстановления 61,8%, при соблюдении всех остальных условий.

На диаграмме ниже показано это в действии. Цена находится в общем восходящем тренде, а затем откатывается.Цена формирует бычий фрактальный разворот около уровня 0,618 инструмента коррекции Фибоначчи. Как только фрактал становится видимым (через два дня после минимума), начинается длинная сделка в соответствии с долгосрочным восходящим трендом.

Получение прибыли также может включать использование фракталов. Например, при открытии длинной позиции по бычьему фракталу трейдер может выйти из позиции, как только произойдет медвежий фрактал. Также можно использовать другие методы выхода, такие как цели по прибыли или скользящий стоп-лосс.

Дополнительные соображения по использованию фракталов

Вот несколько вещей, которые следует помнить при использовании фракталов.

• Это запаздывающие индикаторы.
• Поскольку фракталы очень распространены, их лучше всего комбинировать с другими индикаторами или стратегиями. На них нельзя полагаться изолированно.
• Чем длиннее временной период графика, тем надежнее разворот. Также важно отметить, что чем больше период времени, тем меньше генерируется сигналов.
• Лучше всего строить фракталы на нескольких таймфреймах. Например, торгуйте только краткосрочными фракталами в сторону долгосрочных.Как уже говорилось, сосредоточьтесь на длинных торговых сигналах во время более крупных восходящих трендов и сосредоточьтесь на коротких торговых сигналах во время более крупных нисходящих трендов.
• Большинство графических платформ теперь включают фракталы в список индикаторов.

Итог

Фракталы могут быть полезными инструментами при использовании в сочетании с другими индикаторами и методами. Фракталы можно использовать по-разному, и каждый трейдер может найти свой вариант. Один вариант — использовать индикатор Аллигатора, а другой — уровни восстановления Фибоначчи.Некоторым трейдерам фракталы могут нравиться, другим — нет. Они не являются обязательным условием для успешной торговли, и на них нельзя полагаться исключительно.

Что такое фрактал? — Определение из Техопедии

Что означает фрактал?

Фракталы — это сложные модели, которые самоподобны и поэтому демонстрируют похожие модели в любом масштабе. Фракталы могут быть узорами или формами, которые нерегулярны и отличаются от традиционных геометрических форм, но очень часто встречаются в природе, например, облака, горы, деревья и снежинки.Наиболее известной иллюстрацией фракталов является набор Мандельброта, который при увеличении просто показывает повторения одного и того же паттерна, что затрудняет определение уровня увеличения из-за повторяющихся паттернов.

Techopedia объясняет фрактал

Фрактальная геометрия считается особой областью математики просто потому, что фракталы имеют очень разные математические уравнения, чем обычная геометрия. Явления изучались в течение сотен лет, но фракталы в значительной степени игнорировались как «математические монстры» из-за незнакомости, которые сильно отличаются от установленной геометрии.Математика, лежащая в основе фракталов, началась в 17 веке, когда математик Готфрид Лейбниц начал изучать рекурсивное самоподобие и использовал термин «дробные показатели» для их описания, но только в 1872 году Карл Вейерштрасс представил первое определение функции с графиком. это можно считать фракталом по сегодняшнему определению.

Еще одна веха во фрактальной геометрии наступила, когда Хельге фон Кох дал более геометрический подход к идее фракталов с нарисованным от руки изображением, которое теперь называется снежинкой Коха.Фрактал снежинки Коха начинается с равностороннего треугольника, а затем итеративно заменяет среднюю треть каждой линии другим равносторонним треугольником, хотя и меньшего размера, потому что каждая сторона будет только 1/3 исходной линии, на которой она находится. Это может продолжаться бесконечно или до тех пор, пока это физически возможно в носителе, где это проиллюстрировано, что при моделировании с помощью компьютера может практически растягиваться до бесконечности. Термин фрактал был введен Бенуа Мандельбротом в 1975 году.

Сегодня фрактальные исследования в основном основаны на компьютерах из-за их природы и находят применение в общей математике, компьютерном моделировании, построении изображений и обработке графики.Исследователи постулировали, что, поскольку в прошлом не было компьютеров, ранние исследователи явлений были очень ограничены в способах изображения фракталов, поэтому им не хватало средств, чтобы по-настоящему их визуализировать и оценить их значение.

Паттернов в природе: как найти фракталы

На специальной выставке Science World «Зеркальный лабиринт: числа в природе», проходившей в 2019 году, были рассмотрены закономерности, которые появляются в окружающем нас мире.

Знаете ли вы, что математику иногда называют «наукой о моделях»? Подумайте о последовательности чисел, как о числах, кратных 10 или числах Фибоначчи — эти последовательности являются образцами. В некотором смысле, когда вы наблюдаете закономерность в окружающем вас мире — вы занимаетесь математикой!

Узоры можно увидеть везде: в животных, овощах и минералах. Вы когда-нибудь замечали сходство между формой ваших легких и структурой дерева? Или, может быть, пути молний и путь, по которому река прорывается сквозь землю? Эти паттерны называются фракталами.

Фрактал — это своего рода узор, который мы часто наблюдаем в природе и в искусстве. Как объясняет Бен Вайс, «всякий раз, когда вы наблюдаете серию шаблонов, повторяющихся снова и снова, в самых разных масштабах и где любая маленькая часть напоминает целое, это фрактал».

Фракталы захватывают не только своим математическим или концептуальным представлением, но и тем, что вы можете визуализировать математику — и это прекрасно!

Повторение, которое происходит во фрактале, называется «самоподобие».227 [1080×1920]» src=»https://www.youtube.com/embed/PD2XgQOyCCk?feature=oembed» frameborder=»0″ allow=»accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture» allowfullscreen=»»/>

Визуализация множества Мандельброта показывает, что очень сложные, совершенно неожиданные структуры могут быть результатом очень простых математических правил. У этого понимания есть приложения, которые варьируются от создания реалистичной компьютерной графики до моделирования погоды и финансовых рынков.

Фигурки Лихтенберга

Легкое, удар молнии или ветвь — примеры фрактала, который изучался даже раньше, чем множество Мандельброта, фигура Лихтенбурга.Эти закономерности сначала изучали, пропуская электрические токи через различные материалы и наблюдая за полученными узорами. Когда напряжение проходит через материал, с течением времени токи утекают, вызывая распространение или разветвление на древовидные образования.

На самом деле, вы можете наблюдать подобные паттерны во многих природных явлениях, таких как корни, реки, электрические токи и органы в теле.

Снежинка Коха

Хотя фрактал по определению является бесконечным узором и не может быть измерен, снежинка Коха позволяет нам увидеть, что даже если периметр фрактала бесконечен, площадь — нет.Если вы увеличите масштаб изображения краев снежинки, вы обнаружите, что узор все время появляется заново, но размер самой снежинки не меняется.

Этот вид фракталов обычно встречается в природе, когда мы наблюдаем за береговой линией. Вы не можете получить точное измерение массы суши на Земле, потому что края не гладкие, они грубые и изменчивые, снежинка Коха — это способ показать, как бесконечные неровности все еще могут содержаться в приближении всего целого. .

Какие фракталы вы наблюдали в природе? Вы когда-нибудь видели фракталы в искусстве?

---

Создайте свой собственный узор с использованием солнечного света!

Вы когда-нибудь замечали, что шторы или мебель потускнеют под воздействием солнечных лучей? Наблюдайте за светочувствительной реакцией через нашу деятельность, Световой Узор!

Что такое фрактал? — Полное руководство по пониманию фракталов

Фракталы в природе

Как только основная концепция фракталов понята, становится шокирующим видеть, сколько уникальных типов фракталов существует в природе.Некоторые из наиболее распространенных примеров фракталов в природе включают ветви деревьев, системы кровообращения животных, снежинки, молнии и электричество, растения и листья, географический рельеф и речные системы, облака, кристаллы.

Fractal Trees:

Фракталы видны в ветвях деревьев по мере того, как дерево отрастает конечности. Главный ствол дерева является исходной точкой для Фрактала, и каждый набор ветвей, которые растут из этого основного ствола, впоследствии имеют свои собственные ветви, которые продолжают расти и имеют свои собственные ветви.Со временем ветви становятся достаточно маленькими, они превращаются в прутья, и эти прутья в конечном итоге вырастают в более крупные ветви и имеют собственные прутья. Этот цикл создает «бесконечный» узор ветвей деревьев. Каждая ветвь дерева напоминает уменьшенную версию всей формы.

Фракталы в телах животных

Еще одно невероятное место, где можно увидеть фракталы, — это кровеносная и дыхательная система животных. Если вы возьмете дыхательную систему человека, вы увидите фрактал, который начинается с одного ствола (похожего на дерево), который разветвляется и расширяется в гораздо более мелкозернистую сеть полостей.

Фрактальные снежинки

Мы все слышали, что каждая снежинка уникальна, и что одним из факторов, способствующих уникальности снежинок, является то, что они образуют фрактальные узоры, которые могут обеспечивать невероятное количество деталей, а также вариации. В случае образования кристаллов льда начальная точка фрактала находится в центре, а форма расширяется во всех направлениях. По мере расширения кристалла фрактальные структуры формируются в каждом направлении. Как и в других примерах фракталов, которыми мы поделились выше, каждая итерация формы становится меньше и детальнее, что также способствует общей сложности формы.

Фрактальная молния и электричество

Если вы когда-либо наблюдали грозу, вы получаете представление в первом ряду одного из самых мощных проявлений фракталов в природе. Когда электричество проходит через среду, которая плохо проводит электричество (например, воздух), образующийся узор становится фрактальным. Причина возникновения этого явления в том, как электричество взаимодействует с воздухом. Когда ток проходит через воздух, он перегревается. Перегрев воздуха изменяет его электропроводность и позволяет току выходить наружу.Этот процесс повторяется для каждого уровня фрагментации, и вскоре вы получите фрактал. Вы заметите, что если перевернуть изображение удара молнии или электрического разряда, вы увидите большое сходство с деревом. Это потому, что оба являются фракталом.

Фракталы в растениях и листьях

В следующий раз, когда вы едите салат, ананас, брокколи или несколько других продуктов, вы на самом деле едите фрактал! У растений и листьев, как и у животных, есть внутренние структуры, которые распределяют питательные вещества через сеть фракталов.Эти структуры позволяют легко распределять жидкости и другие материалы, поддерживающие жизнь, по растению и поддерживать жизнь каждой клетки.

Помимо клеточного уровня, некоторые виды растений сами по себе выглядят очень фрактально. Одним из наиболее ярких примеров является брокколи, называемая брокколи Романеско. У этого типа брокколи невероятная структура шпилей, которые исходят из одного источника (подобно фрактальной снежинке), у которых, в свою очередь, есть свои шпили, которые продолжаются до кончика растения.

Папоротник — еще один прекрасный пример фрактала. Папоротники, по сути, состоят из одной и той же общей структуры, повторяющейся снова и снова.

Фракталы в географии, реках и ландшафте

Подобно молниям, деревьям и растениям, география, реки и ландшафт также часто попадают в категорию фракталов. Если подумать о том, как формируется и выветривается местность, значительную часть ландшафта можно отнести к водной эрозии. Подобно сетям, которые распределяют жидкости по организму, реки и другие водоемы собирают, перемещают и распределяют воду по ландшафту.Прекрасным примером этого может быть путешествие, которое совершает вода, перемещаясь из ручья в реку, в озеро или в другой большой водоем.

По мере того, как реки и другие водоемы образуются, они также вырезают географический ландшафт, который делает сушу водоемами также перемещающимися по фракталам. Отличный пример того, как фрактальная геометрия влияет на географию, — это измерение береговой линии. Если вы измеряете береговую линию линейкой длиной в милю, вы сможете получить очень приблизительную оценку длины береговой линии, но не сможете уловить какие-либо более мелкие детали, такие как неровности, гребни и выходы на поверхность. .Однако, если вы уменьшите линейку до ярда, вы внезапно сможете уловить гораздо больше мелких деталей, потому что ваш инструмент для измерения будет намного точнее. Каждый раз, когда вы увеличиваете степень детализации ваших измерений, вы можете увеличивать точность ваших измерений, что в случае береговой линии увеличит периметр, потому что вы сможете уловить больше этих мелких деталей. Поскольку береговые линии имеют фрактальную геометрию, детализация очень мала и приводит к очень большому периметру.

Другой способ подумать о моделировании геометрии береговой линии — подумать о задаче создания контура, если вы вынуждены использовать набор кубов. Чтобы детали были точными, кубики должны быть очень маленькими, иначе детали будут потеряны. Вы также можете приравнять эту проблему к разрешению изображения. Если у вас изображение с низким разрешением, пиксели очень большие, что делает изображение размытым и трудноразличимым. По мере увеличения разрешения изображения пиксели становятся меньше, а изображение становится более детальным.

Фракталы в облаках

Облака также отображают характеристики фракталов. Турбулентность в атмосфере оказывает интересное влияние на то, как частицы воды взаимодействуют друг с другом. Турбулентность является фрактальной по своей природе и поэтому оказывает прямое влияние на формирование и визуальный вид облаков. Количество конденсата, кристаллов льда и осадков, выбрасываемых из облаков, влияет на состояние облака и структуру системы и, следовательно, на турбулентность.

Фракталы в кристаллах

Подобно ледяным образованиям, другие природные формы кристаллов, подобные тем, которые созданы из минералов, также могут проявлять фрактальные свойства. В зависимости от формы кристаллов и используемых минералов, некоторые из них имеют более фрактальный вид, чем другие. Прекрасным примером этого может служить кубическая природа некоторых образований аметиста или пирита.

Чтобы получить дополнительную информацию о фракталах в природе, мы рекомендуем вам изучить культовую книгу Бенио Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой впервые возникли эти идеи.

Математика: о фракталах | Мэривудский университет

Контактное лицо по программе:

Д.П. Адхикари, Ph.D.
[email protected]
Здание Центра естественных и медицинских наук (CNHS), комната 339

(570) 348-6211 доб. 2375

Административный помощник:

Марси Гоган
mgaughan @ marywood.edu
Центр естествознания и здравоохранения (CNHS), комната 350
(570) 348-6265

Что такое фракталы?

Фрактал — это «грубая или фрагментированная геометрическая форма, которую можно разделить на части, каждая из которых является (по крайней мере приблизительно) копией уменьшенного размера целого», свойство, называемое самоподобием .

Термин фрактал был введен Бенуа Мандельбротом в 1975 году и произошел от латинского фрактуса, означающего «сломанный» или «расколотый». Математический фрактал основан на уравнении, которое подвергается итерации, форме обратной связи, основанной на рекурсии.

Фрактал часто имеет следующие особенности:

• Он имеет тонкую структуру при сколь угодно малых масштабах.
• Это слишком необычно, чтобы его можно было легко описать традиционным евклидовым геометрическим языком.
• Самоподобен (по крайней мере, приблизительно или стохастически).
• Он имеет размерность Хаусдорфа, которая больше, чем его топологическая размерность (хотя этому требованию не отвечают кривые, заполняющие пространство, такие как кривая Гильберта).
• Он имеет простое и рекурсивное определение.

Поскольку они кажутся похожими на всех уровнях увеличения , фракталы часто считаются бесконечно сложными.К естественным объектам, которые до некоторой степени аппроксимированы фракталом, относятся:

• облака
• горные хребты
• молнии
• береговая линия
• хлопья снега
• разные овощи (цветная капуста и брокколи)
• раскраски животных

Создание фракталов

Изображения фракталов можно создавать с помощью программного обеспечения для создания фракталов. Изображения, созданные с помощью такого программного обеспечения, обычно называют фракталами, даже если они не обладают вышеуказанными характеристиками, например, когда можно увеличить область фрактала, которая не проявляет каких-либо фрактальных свойств.Кроме того, они могут включать в себя артефакты вычислений или отображения, которые не являются характеристиками истинных фракталов.

Общие методы создания фракталов

• Время побега
• Системы итерированных функций
• Случайное
• Аттракторы Штанге

Улучшенный итерационный алгоритм Ньютона для графического дизайна фрактального искусства

Графика фрактального искусства — это продукт слияния математики и искусства, основанный на вычислительной мощности компьютера для итеративного вычисления математических формул и представления результатов в графическом рендеринге.Выбор начального значения первой итерации оказывает большее влияние на окончательный результат расчета. Если начальное значение итерации выбрано неправильно, итерация не сойдется или приведет к неправильному результату, что повлияет на точность графического дизайна фрактального искусства. С целью решения этой проблемы в данной статье предлагается улучшенный метод оптимизации для выбора начального значения итерационного метода Гаусса-Ньютона. Посредством метода разделения на области системы, состоящей из массива датчиков, эффективное начальное значение итеративного вычисления выбирается в соответствующей области для последующего итеративного вычисления.Используя особую структуру скелета итеративной графики Ньютона, такую ​​как бесконечно тонкая инкрустированная цепочечная композиция, подобная рассеянным точкам, в сочетании с использованием методов вторичного графического дизайна, мы проводим исследования в области дизайна фрактальной графики со специальными текстурными эффектами. На этой основе итеративная графика Ньютона обрабатывается с помощью дизеринга и математической морфологии на основе MATLAB для получения графики, а затем обрабатывается с помощью плетения САПР для непосредственного формирования графики фрактального искусства со специальными текстурными эффектами.Эксперименты по дизайну с помощью электронных жаккардовых машин доказали возможность преобразования специальных текстурных эффектов, основанных на итеративном графическом дизайне Ньютона, в жаккардовую фрактальную графику.

1. Введение

Фрактальная геометрия часто используется для описания необычных вещей в природе. Хорошо известная евклидова геометрия описывает объекты, состоящие из точек, прямых линий, общих многоугольников и кривых в двух измерениях, а также прямоугольников и поверхностей в трех измерениях [1, 2].Евклидовой геометрией можно описать самые распространенные рукотворные объекты, такие как книги, письменные столы, маяки, дома и другие здания. Однако многие природные объекты в природе не могут быть описаны обычными геометрическими фигурами, такими как облака и береговые линии [3]. Появление фрактальной геометрии открывает новые возможности для описания природных объектов. На самом деле сложно судить о разнице между двумя облаками и двумя береговыми линиями только по структуре и форме, потому что эти природные объекты обладают самоподобием.Фрактальная геометрия использует идею фрактальных размерностей для описания различий в этой характеристике и отображает объекты с разными размерностями [4].

В зарубежных странах исследования фрактального искусства в основном основаны на учёных, и внимание художников к этой области не очень распространено [5]. Исследование фрактального искусства всегда имело свою систему и историю развития, что особенно заметно в дизайнерском образовании [6]. Психологическое образование упоминается в художественном образовании уже давно, а геометрия даже считается одной из основ преподавания художественного дизайна [7].Джозеф Альберс, Макс Билл и другие цитировали множество геометрических принципов графического дизайна для управления работой и дизайном [8, 9]. Большая часть их курсов — это создание графики на основе математических прототипов. В Китае исследования фрактального искусства в основном сосредоточены на художниках, и ученые уделяют мало внимания [10]. Это проявление различного понимания исследований фрактального искусства в стране и за рубежом. Соответствующие ученые объяснили, как набор Джулии, набор Мандельброта и фрактальный набор Ньютона регулируют количество и форму лепестков в дизайне одежды и извлекли информацию о текстуре различных типов цветов, сосредоточив внимание на анализе взаимосвязи между типами цветов набора Джулии и различными параметрами [11].Исследователи предположили, что произведения искусства должны изображать природу и работать как природу [12]. Наука также пытается объяснить законы, определяющие природу. Технология предоставляет подходящие инструменты для обеих сторон для достижения общих целей [13]. Фрактальное искусство лежит в основе треугольных отношений между искусством, наукой и технологиями. Фрактальная геометрия и теория хаоса открывают новые перспективы в искусстве. Изучение фрактальных свойств открывает широкие возможности для развития искусства [14]. Соответствующие ученые использовали искусственные нейронные сети для реализации слияния содержимого изображения естественной сцены и классического стиля рисования и переноса классического стиля рисования на изображение содержимого [15].Благодаря настройке параметров созданное изображение соответствует эстетическим стандартам людей. Многие ученые отдают предпочтение передаче стиля как важной ветви глубокого обучения [16]. С точки зрения практического применения, поскольку теория и практика не были хорошо интегрированы и из-за недостаточного понимания фракталов, существует очень мало исследований правил генерации графов и применения этих правил [17]. Только швейная и текстильная промышленность задействованы и требуют фрактальной технологии.В более высоких отраслях, таких как фильмы и 3D-игры, пока нет реальных приложений. Кроме того, из-за отсутствия связи между естественнонаучным и художественным образованием в Китае понимание фрактальной графики в стране все еще находится на начальной стадии. Ученые не уделяют должного внимания такому виду художественного перформанса, поэтому особого внимания он не привлекает. Исследованию фрактального искусства недостает не только теоретических знаний, но и материального обеспечения. Поэтому путь к популяризации теории фракталов все еще очень труден [18–20].Как дальше продвигать теорию фракталов, чтобы люди осознали ее материальную ценность и экономические выгоды, или чтобы использовать изображения фрактального искусства в качестве новой формы искусства, требует наших дальнейших усилий.

Итерационный граф Ньютона создается на основе теории нелинейной динамики путем изменения ее математической модели и связанных параметров. В процессе расчета используется итерационный метод Гаусса-Ньютона для оптимизации выбора начального значения итерационного метода Гаусса-Ньютона. Метод оптимизации полностью использует характеристики актуальной задачи позиционирования цели и сочетает в себе преимущества метода Гаусса-Ньютона для выполнения локального быстрого поиска.Ситуация, когда метод Гаусса-Ньютона не сходится или только сходится к локальному оптимальному решению, избегается, и получается более идеальный результат позиционирования. Предлагаются четыре формы итеративного преобразования Ньютона для создания различных форм графики, которые могут влиять на эффект текстуры поверхности графики фрактального искусства. Математическая обработка морфологии итеративной графики Ньютона с помощью MATLAB заставляет пиксельные точки графики напрямую соответствовать точкам ткани, превращая их непосредственно в графику фрактального искусства и представляя различные специальные эффекты текстуры, и мы разрабатываем эксперименты с помощью электронные жаккардовые станки.Для создания специальных текстурных эффектов графики фрактального искусства исследуется новый способ справки.

Остальная часть статьи организована следующим образом. В разделе 2 анализируются связанные теории фрактальной графики. В разделе 3 построен улучшенный итерационный алгоритм Ньютона. Эксперименты и обсуждения проводились в Разделе 4. Раздел 5 суммирует полный текст.

2. Теории, связанные с графикой фрактального искусства

2.1. Характеристический анализ фрактала

Фрактал — это набор некоторых «сложных» точек в некоторых простых пространствах.У этой коллекции есть некоторые особые свойства. Во-первых, это компактное подмножество пространства, в котором оно расположено, и имеет типичные геометрические характеристики, перечисленные ниже: (i) фрактальное множество имеет детали пропорций в любом мелком масштабе или имеет тонкую структуру. (Ii) фрактальное множество не может быть описан традиционным геометрическим языком. Это не траектория точек, удовлетворяющих определенным условиям, и не набор решений некоторых простых уравнений. (Iii) Фрактальное множество имеет определенную самоподобную форму, которая может быть приближенно самоподобной или статистической самоподобной.(iv) «Фрактальная размерность» (определенная каким-либо образом) фрактального множества обычно больше, чем его топологическая размерность. (v) В наиболее интересных ситуациях фрактальное множество определяется очень простым методом и может быть сгенерировано итерациями. преобразований.

Для множества различных фракталов некоторые могут обладать всеми вышеуказанными свойствами одновременно, некоторые могут иметь только большинство из них, а некоторые имеют исключения для определенных свойств, но это не влияет на то, что мы называем этот набор фракталом.Следует отметить, что большинство фракталов в природе и различных прикладных науках являются приблизительными. Когда масштаб уменьшается до размера молекулы, фрактальность исчезает, и строгий фрактал существует только в теоретических исследованиях.

Фракталы обычно делятся на две категории: детерминированные фракталы и случайные фракталы. Если несколько итераций алгоритма по-прежнему дают один и тот же фрактал, этот фрактал называется детерминированным фракталом. Детерминированные фракталы повторяемы.Несмотря на то, что в процессе генерации может быть внесена некоторая случайность, окончательный граф является детерминированным. Случайный фрактал относится к тому факту, что, хотя правила генерации фракталов определены, на них влияют случайные факторы. Хотя фракталы, генерируемые каждым процессом генерации, могут иметь одинаковую сложность, форма будет разной. Хотя случайные фракталы также имеют набор правил, введение случайности в процессе генерации сделает окончательный граф непредсказуемым.То есть графика, сгенерированная двумя операциями в разное время, может иметь одинаковую фрактальную размерность, но форма может быть разной, а случайные фракталы не могут повторяться. Рамочная диаграмма программы фрактального графического дизайна представлена ​​на рисунке 1.

2.2. Разница между фрактальной геометрией и евклидовой геометрией

Чтобы объяснить разницу между фрактальной геометрией и евклидовой геометрией, сначала мы вводим характеристики евклидовой геометрии.Евклидова геометрия — это изучение правильных геометрических фигур. Так называемые правильные геометрические фигуры — это знакомые точки, прямые и отрезки; квадраты, прямоугольники, трапеции, ромбы, различные треугольники и правильные многоугольники на плоскостях и плоскостях; кубы, кубоиды и правильные тетраэдры в пространстве. Другой тип — это геометрические фигуры, состоящие из кривых или поверхностей, кругов и эллипсов на плоскости, сфер, эллипсоидов, цилиндров, конусов и усеченных конусов в пространстве. Размеры (евклидово измерение) этих точек, линий, экранной графики и пространственной графики равны 0, 1, 2 и 3 соответственно.Геометрическое измерение правильных геометрических фигур относится к измерению длины, площади и объема.

Графика, изучаемая фрактальной геометрией, более сложна или более реалистична, чем графика, изучаемая европейской геометрией. Его важной особенностью является то, что он не имеет характерной длины, а линии или поверхности, составляющие его форму, не являются гладкими и неразличимыми. Например, облака не имеют сферической формы, горы не имеют конической формы, береговые линии не являются дугами, кора деревьев не гладкая, и даже молния не пересекает небо по прямой линии.Эти неправильные геометрические формы трудно описать прямыми линиями, плавными кривыми и гладкими изогнутыми поверхностями в евклидовой геометрии. Таким образом, объектом исследования фрактальной геометрии являются неправильные геометрические формы без характерной длины. Хотя такой объект не может быть обработан классической евклидовой геометрией, он имеет «хорошие» свойства. Чтобы облегчить исследование, часто делаются важные идеализированные предположения; то есть предполагается, что он самоподобен. Самоподобие означает, что если часть рассматриваемой фигуры увеличивается, ее форма остается такой же, как и целое.Хотя эти предположения слишком упрощены, только тогда мы сможем их изучить, оставаясь при этом пригодными для целей приложения. Конечно, никакая реальная структура не останется прежней после бесконечного количества повторных усилений. В принципе, самоподобие в приложении отражено лишь приблизительно.

Строгое определение характеристической длины отсутствует. Обычно длина, которая может представлять геометрические характеристики объекта, называется характеристической длиной объекта, например радиусом сферы, длиной стороны куба и ростом человека; это характерные длины различных объектов, и они хорошо отражают геометрические характеристики этих объектов.Для форм объектов с характерной длиной, даже если они немного упрощены, до тех пор, пока их характерные длины остаются неизменными, их геометрические свойства не сильно изменятся. Другими словами, для этого типа объектов вы можете использовать хорошо известные геометрически простые формы, такие как прямоугольники, цилиндры и сферы, чтобы объединить их, и они могут очень напоминать свои структуры. Для объектов, не имеющих характерной длины, характерно то, что их невозможно или трудно измерить с помощью обычных геометрических шкал.

2.3. Фрактал и хаос

Фракталы часто показывают неправильные представления, но это не означает, что они абсолютно неправильные. Фракталы обладают характеристиками «самоподобия»; то есть они берут любую часть фрактальной фигуры и соответствующим образом увеличивают ее, и вы все равно можете получить изображение, подобное исходной фигуре целиком.

Объект, описываемый хаосом, имеет бесконечную самоподобную структуру, а также имеет нерегулярное представление, но на самом деле имеет бесконечную самоподобную вложенную структуру.Таким образом, исследования «фрактала» и «хаоса» приблизились к конвергенции. Мы можем видеть тот факт, что в книге под названием «Хаос» есть глава о «фрактале», но в книге «Фрактал» есть еще одна глава о «Хаосе». «Фрактал» и «Хаос», две теории, разработанные с разных точек зрения, сходятся в «самоподобии».

Нелинейные научные исследования превращают понимание людьми «нормальных» вещей и «нормальных» явлений в исследование «ненормальных» вещей и «ненормальных» явлений.«Мультимедийная» технология — это новый «нетрадиционный» метод, используемый для обнаружения большого количества «нетрадиционных» явлений в процессе хранения, сжатия, преобразования и управления информацией. Хаос нарушает различные явления «сингулярных аттракторов», заключающиеся в том, что детерминированное уравнение определяет движение системы начальными условиями.

Хаос возникает из нелинейной динамической системы, а динамическая система описывает произвольный процесс, который развивается и изменяется с течением времени. Такие системы возникают во всех сферах жизни.Цель исследования динамической системы — предсказать конечный результат развития «процесса». Однако даже простейшая динамическая система только с одной переменной будет иметь по существу случайную характеристику, которую трудно предсказать. Последовательность, образованная последовательными итерациями точки или числа в динамической системе, называется орбитой. Если небольшое изменение начальных условий приводит к незначительному изменению соответствующей орбиты в течение определенного числа итераций, динамическая система устойчива.В это время орбита, произвольно близкая к заданному начальному значению, может быть далека от исходной орбиты. Следовательно, чрезвычайно важно понимать набор неустойчивых точек в данной динамической системе. Множество всех точек, орбиты которых нестабильны, является хаотическим множеством этой динамической системы, и небольшие изменения параметров динамической системы могут вызвать быстрые изменения в структуре хаотического множества. Этот вид исследования чрезвычайно сложен, но с появлением компьютера вы можете визуально увидеть структуру этого хаотического множества и увидеть, является ли он простым или сложным, и как он изменяется по мере изменения самой динамической системы.Отсюда фрактал входит в исследование хаотических динамических систем.

Хаос в основном обсуждает процесс нестабильной дивергенции нелинейной динамической системы, но система всегда сходится к определенному аттрактору в фазовом пространстве, что очень похоже на процесс генерации фракталов. Хаос в основном обсуждает поведенческие характеристики исследовательского процесса, в то время как фрактал уделяет больше внимания изучению структуры самого аттрактора. В то же время хаос и фрактал во многом зависят от развития компьютеров, что бросает вызов традиционной концепции чистой математики.Это также очень стимулировало интерес и понимание ученых и общественности и сыграло свою роль в продвижении. Согласованность фрактала и хаоса не случайна. В компьютерном изображении множества хаосов фрактал часто образует множество точек с неустойчивой орбитой. Итак, эти фракталы даны по точному правилу. Они представляют собой хаотический набор динамических систем и различных странных аттракторов. Следовательно, красота фрактальных изображений — это красота хаотических коллекций, а изучение фрактальных изображений является частью изучения хаотической динамики.

2.4. Метод создания фрактальной графики

Система L представляет собой набор методов для описания растений и деревьев, предложенных с точки зрения морфологии растений. Вначале он фокусировался только на топологической структуре растений, то есть на соседних отношениях между компонентами растений. После многих лет исследований к процессу описания были добавлены геометрические объяснения. Высокая простота и многоуровневая структура этой системы обеспечивают эффективную теорию и метод описания морфологических и структурных характеристик процесса роста и размножения растений и деревьев.Система L не только может описывать растения, но также ее метод композиции может использоваться для рисования всех видов регулярных фрактальных кривых и других форм. На рисунке 2 показана схема расчета значения фрактальной размерности, созданная фрактальной графикой.

Система итерационных функций (IFS) — важная ветвь фрактальной геометрии, а также одна из наиболее важных и многообещающих областей фрактальных изображений. IFS — это система фрактальной конфигурации. С целью создания этой системы был предложен набор теорий, разработан ряд правил алгоритмов, которые использовались во многих аспектах.Теория IFS включает отображение сжатия, метрическое пространство, существование инвариантных множеств уплотнения и теорию измерений. Система итерационных функций имеет большие преимущества при моделировании большого класса объектов, особенно преимущества компьютерного моделирования природных ландшафтов. Благодаря этому IFS имеет широкий спектр приложений в графике. Среди них исследования технологии визуализации были расширены от 2D-фракталов до 3D-фрактальных объектов; Самоподобное фрактальное изображение, исследованное IFS, расширяет область его применения, и преобразование IFS не обязательно должно ограничиваться аффинным преобразованием.Для геометрического преобразования исходной графики линейное преобразование в IFS расширено до нелинейного преобразования; При обсуждении компьютерной генерации природных пейзажей метод моделирования также расширен с двухмерного на трехмерный.

Фрактальное множество сложной динамической системы в основном включает множество Мандельброта и множество Жюлиа. Множество Мандельброта — самое известное фрактальное множество во фракталах. Множества Жюлиа представляют собой итерацию многочленов и рациональных функций.И множество Мандельброта, и множество Жюлиа представляют собой последовательности точек, полученные повторными итерациями на комплексной плоскости.

Множество Мандельброта является общей схемой множества Жюлиа, а множество Жюлиа является границей множества Мандельброта. Прекрасные образы, представленные перед людьми Мандельбротом и Джулией, впечатлили художников. Пособия имеют широкие перспективы применения. Народные исследования множества Джулии и его расширения включают алгоритм генерации, соответствующую демонстрацию, генерацию трехмерного фрактального графа и его дальнейшее расширение; исследования по отображению множества Джулии также получили дальнейшее развитие, включая генерацию множеств Джулии высокого порядка.Изучение методов расширяет квадратичное комплексное отображение на комплексное отображение более высокого порядка; алгоритм набора Джулиа второго порядка — алгоритм времени выхода, алгоритм случайной обратной функции и алгоритм вращающегося времени выхода расширены на более высокие и обобщенные множества Джулиа и фрактальный образ множества Джулиа. С помощью метода компьютерного эксперимента исследование множества Жюлиа было распространено на трансцендентную функцию; Эта область исследований в области художественного дизайна, основанного на фрактале и заданном образе Джулии, открыла людям еще один шанс.

3. Улучшенный алгоритм итераций Ньютона

3.1. Итерационный метод Гаусса-Ньютона

Итерационный метод Гаусса-Ньютона используется для решения задач нелинейной регрессии. После установки начального значения через несколько итераций коэффициенты регрессии изменяются для получения оптимального решения уравнений. Основная идея итерационного метода Гаусса-Ньютона состоит в том, чтобы использовать расширение ряда Тейлора, чтобы приблизительно заменить модель нелинейной регрессии, а затем, после нескольких итераций, коэффициенты регрессии постоянно пересматриваются, чтобы коэффициенты регрессии постоянно приближались к лучшим коэффициентам регрессии модели модель нелинейной регрессии.Цель состоит в том, чтобы минимизировать остаточную сумму квадратов исходной модели. Алгоритм Гаусса-Ньютона — это алгоритм решения нелинейных задач наименьших квадратов. Это можно рассматривать как метод Ньютона для поиска варианта минимальной функции. Он используется для минимизации суммы квадратов значений функции. В нелинейной регрессии параметры в модели ищутся, что делает модель совместимой с существующими наблюдениями, такими как нелинейные задачи наименьших квадратов.

Учитывая m функций от n переменных, где m ≥ n , итерационный алгоритм Гаусса-Ньютона находит сумму наименьших квадратов:

Мы выполняем итерацию от установленного начального значения

Среди них якобиан матрица

Мы устанавливаем систему уравнений равной

Ее матрица Якоби

Когда матрица Якоби является невырожденной матрицей (определитель не равен нулю), формула итерации целевой координаты равна

3.2. Выбор начального значения

На итерационный метод Гаусса-Ньютона большое влияние оказывает начальное значение. Набор из трех узлов в целевой системе позиционирования, используемой в этой статье, может образовывать треугольный массив, а значение функции матрицы Якоби в соответствующем направлении вычисляется путем вычисления точек на внешней выносной линии каждой стороны треугольника. Значение функции больше не меняется.

В точках на прямой значение матрицы Якоби равно 0.В это время матричная функция Якоби принимает крайнее значение. Матричная функция Якоби принимает минимальное значение в левой части точки и максимальное значение в правой части, но значение функции матрицы Якоби остается неизменным. Следовательно, когда для решения проблемы используется итерационный метод Гаусса-Ньютона и когда начальное значение и реальный результат расчета находятся в одном диапазоне (относящемся к одной и той же стороне точки экстремального значения), оптимальное решение может быть получено после несколько итераций.Когда начальное значение и истинное значение не находятся в одном диапазоне, более точные результаты вычислений не могут быть получены, и только итерационная сходимость может привести к локальному оптимальному решению.

На основе идеи генетического алгоритма оптимизирован выбор начального значения итерационным методом Гаусса-Ньютона. Генетический алгоритм — это недетерминированный квазиестественный алгоритм. Генетический алгоритм — это случайный алгоритм, который по своей природе использует естественный отбор и генетический механизм. Основная идея алгоритма — моделировать наследственность, мутации и кроссовер при естественном отборе.Мы выбираем идеальных индивидуумов и рекомбинируем их с помощью генетических операторов, чтобы создать новый набор групп решений-кандидатов, пока не будет получено оптимальное решение или лучшее решение, которое соответствует настройке. Генетический алгоритм предоставляет новый метод выбора начального значения итерационного метода Гаусса-Ньютона. При вычислении итерационного метода Гаусса-Ньютона группа точек-кандидатов выбирается для участия в итерации, и разумные параметры выбора выбираются в соответствии с функцией пригодности для выбора точек-кандидатов, которые минимизируют ошибку результата расчета как начальное значение итерационного метода Гаусса-Ньютона.Точка с наивысшей пригодностью выбирается в качестве начального значения. Вероятность выбора —

Соединение «два на два» трех узлов в этой системе фрактального дизайна может разделить точки во всей области позиционирования на семь диапазонов. Следовательно, при выборе начального значения одна точка в каждой из семи областей может быть случайным образом выбрана в качестве точки-кандидата для начального значения. Мы используем эти семь точек в качестве начальных значений в методе итераций Гаусса-Ньютона для выполнения итераций и ограничиваем количество итераций до 10.В течение указанного количества раз точка, в которой функция пригодности принимает наименьшее значение, принимается как окончательное истинное начальное значение. Это начальное значение вычисляется итеративно, и для итеративного процесса выбирается лучшее начальное значение. Каждая итерация корректирует вычисленное решение для получения оптимального решения.

Полученный окончательный результат будет возвращен как результат расчета целевого позиционирования. Это гарантирует, что оптимальный результат может быть получен в удобном месте.На рисунке 3 подробно показаны этапы расчета.

4. Эксперимент и обсуждение

4.1. Результаты оптимизации итерационного алгоритма Ньютона

Значение матрицы Якоби, полученное в процессе вычисления репрезентативных точек различных регионов, отличается, поэтому величина коррекции, определяющая итерацию, различна. В результате в итерационном вычислении произошла сходимость и несовпадение. Окончательный результат итеративного вычисления начальных значений различных кандидатов художественной графики показан на рисунке 4.

Из рисунка 4 видно, что погрешность результатов расчета исходных значений различной художественной графики составляет менее 7%. Это подтверждает, что выбор начального итерационного значения по региону является эффективным для улучшения традиционного итерационного метода Гаусса-Ньютона. По сравнению с методом случайного выбора начального значения, выбор начального значения по региону может повысить точность расчета итерационного метода Гаусса-Ньютона. Большинство результатов, полученных с помощью итерационного процесса случайного выбора начальных значений, содержат большие ошибки.Результат позиционирования в значительной степени ограничен расстоянием между случайно сгенерированным положением начального значения и фактическим источником звука. Чем меньше расстояние между случайно сгенерированным начальным значением итерации и фактической удаленной звуковой точкой, тем меньше ошибка результата расчета и тем более идеальный результат расчета. Когда случайно выбранное начальное значение находится далеко от фактической точки источника звука, результат расчета имеет большую ошибку. Метод позиционирования случайной генерации начальных значений ограничен диапазоном генерации случайных чисел и, в то же время, из-за своей случайности не подходит для практических систем.

4.2. Влияние итерационной функции и изменений параметров на создание итерационного графа Ньютона

Факторы, влияющие на создание итерационной графики Ньютона, в основном включают тип итерационной функции и значение параметров p и q и выбранный Итеративная графика Ньютона является частью дизайна фрактальной графики. С помощью экспериментов, анализа и обобщения можно уловить некоторые регулярные тенденции изменений итеративного графа Ньютона, а также создать итерационные графы Ньютона со специальными текстурными эффектами.

Согласно определению итерации Ньютона и ее принципу компьютерной визуализации, можно узнать, что тип итерационной функции имеет решающее влияние на формирование фрактального искусства итеративного графа Ньютона. Итерационная функция может выбирать тригонометрическую функцию, степенную функцию, экспоненциальную функцию, гиперболическую функцию, функцию абсолютного значения и т. Д. Выбор различных итерационных функций позволяет получить набор графиков N различных форм. Среди них тригонометрические функции делятся на синус, косинус, тангенс, котангенс и другие тригонометрические функции, а также могут включать изменение степени тригонометрической функции.В этой статье в качестве итерационных функций ньютоновских итерационных графов в основном выбираются тригонометрические функции, степенные функции, экспоненциальные функции и гиперболические функции. Графики итераций Ньютона, сгенерированные различными итерационными функциями, показаны на рисунке 5.

В итерационной функции того же типа изменение итерационной функции отображения означает изменение числителя и знаменателя действительной и мнимой частей итерационной формулы, а также восстановленной функции. Итерационный граф Ньютона также будет иметь калейдоскопическую структуру.В этой статье было предложено множество методов для отражения текстуры итерационных графиков Ньютона в дизайне. Среди них итерационный график степенной функции Ньютона и итерационный график тригонометрической функции Ньютона сильно изменяются из-за изменения итерационной функции.

Экспериментально установлено, что степенной график итераций Ньютона экспоненциальной функции и график итераций Ньютона тригонометрической функции более чувствительны к изменениям параметров, в то время как график итераций Ньютона экспоненциальной функции и график итераций Ньютона гиперболической функции мало приспособлены к графику. структура, вызванная изменением параметров.

4.3. Влияние методов обработки изображений математической морфологии на итерационные графы Ньютона

С помощью программного обеспечения Matlab мы выполнили ряд математических морфологических операций над итеративными графами Ньютона, включая две операции: расширение и эрозию. Рисунок 6 в этой статье представляет собой образец итеративной графики Ньютона, обработанной математической морфологией как графику фрактального искусства.

Сравнивая, можно обнаружить, что когда выбраны два структурных элемента ромба и квадрата, эффект изображения после операции коррозии становится более четким, а стиль итеративной графики Ньютона более очевиден.Однако после обработки изображений структурных элементов появляется много блочных структур, которые вызывают неравномерное натяжение в направлениях основы и утка во время проектирования, что не способствует проектированию.

4.3.1. Выбор структурных элементов

Выбор подходящих структурных элементов играет важную роль в лучшем выражении специальных текстурных эффектов итеративной графики Ньютона. Конструктивные элементы включают сферические, линейные, ромбовидные, квадратные и дисковые. В результате многочисленных экспериментов и сравнений в этой статье в основном используются два структурных элемента, ромбовидные и квадратные.

Как показано на рисунке 7, в ходе экспериментов было обнаружено, что с увеличением количества структурных элементов итеративная графика Ньютона постепенно превращается из тонкого в грубый стиль, а присущий им эффект текстуры постепенно исчезает.

4.3.2. Применение вычисления расширения

Операция расширения больше подходит для нерассеянных итерационных графов Ньютона. Для итерационных графиков разброса Ньютона после обработки операции расширения разбросанные точки будут объединены с разбросанными точками прикрепления, чтобы стать блоком, и по мере увеличения структурных элементов разбросанные точки быстро исчезают, и уникальный эффект текстуры также исчезает. .

4.3.3. Применение расчета коррозии

При сравнении можно обнаружить, что операция эрозии больше подходит для итерационных графиков Ньютона точек разброса. При выборе двух структурных элементов ромба и квадрата эффект изображения после операции коррозии будет более четким, чем раньше, а стиль итеративной графики Ньютона будет более очевидным. Чем больше структурных элементов, тем больше блочных структур появляется после обработки изображения.

4.4. Влияние графической организации фрактального искусства и плотности графики фрактального искусства на результаты экспериментов

Традиционная графика фрактального искусства делится на цветочные части и наземные части. В дизайне плетения используются разные цвета, и организация соответствующая; то есть один цвет соответствует одной организации. Итерационная графика Ньютона состоит из разбросанных точек и тонких линий, которые определяют, что части цветка состоят из разбросанных точек и тонких линий, а все остальное — наземные части, которые необходимо правильно организовать.В экспериментальном дизайне этой статьи одна и та же графика фрактального искусства сопоставляется с 2–4 организациями, так что нити основы и утка графики фрактального искусства являются более сложными, поверхность графики фрактального искусства отражает больше деталей, а текстура более сложная и нежная.

Графика фрактального искусства, используемая в этой теме, по своей сути сложна и тонка, что требует деликатных материалов, лучшего блеска и максимально возможной плотности пряжи. Плотность рисунков фрактального искусства из хлопка может достигать 70–85 штук / см, а плотность рисунков фрактального искусства из шелка может достигать 190 штук / см.Таким образом, видно, что настоящий шелк имеет большое преимущество в отражении тонкой структуры графики фрактального искусства. По этой причине мы выбираем в качестве сырья настоящий шелк, а также можем попробовать использовать хлопчатобумажную пряжу, синель, полиэстер и другое сырье для получения различных стилевых эффектов. Уровень фрактальной точности художественной графики улучшенного итерационного алгоритма Ньютона показан на рисунке 8.

5. Заключение

В этой статье анализируются основные принципы итерационного метода Гаусса-Ньютона, и мы обнаружили, что итерация Гаусса-Ньютона на метод сильно влияет начальное значение итерации.Если начальное значение выбрано неправильно, итерация может не привести к неправильному результату. И наоборот, выбор подходящих начальных значений может эффективно вычислять точные результаты и уменьшать ошибки позиционирования. Репрезентативная точка выбирается из семи областей в качестве исходного значения кандидата и подставляется в уравнение для итеративного расчета. В качестве окончательного результата расчета мы используем значение с наименьшей ошибкой. Оптимизирован метод выбора начального значения в итерационном методе Гаусса-Ньютона.Мы создаем новый фрактальный графический дизайн и модель формы на основе итеративной теории Ньютона. В частности, он включает в себя изменение различных факторов, влияющих на создание итерационных графиков Ньютона, непрерывное преобразование факторов, влияющих на создание итерационных графиков Ньютона, и обобщение регулярности их изменений. Чтобы найти особый тип итеративной графики Ньютона, мы проектируем графику фрактального искусства, а затем выбираем соответствующую организацию, отражающую уникальный механизм итеративной графики Ньютона.

No related posts.