Как нарисовать шестиугольник без циркуля фото: Как нарисовать шестиугольник с помощью линейки

Содержание

Как построить равносторонний пятиугольник с помощью циркуля. Правильный пятиугольник: необходимый минимум информации

Уровень сложности: Несложно

1 шаг

Сначала, выбирайте, где разместить центр окружности. Там нужно поставить начальную точку, пусть она называется О. С помощью циркуля вычерчиваем вокруг нее окружность заданного диаметра или радиуса.

2 шаг

Затем проводим две оси через точку О, центр окружности, одна горизонтальная, другая под 90 градусов по отношению к ней – вертикальная. Точки пересечения по горизонтали назовем слева на право А и В, по вертикали, сверху вниз – М и Н. Радиус, который лежит на любой оси, например, на горизонтальной в правой части, делим пополам. Это можно сделать так: циркуль с радиусом известной нам окружности устанавливаем острием в точку пересечения горизонтальной оси и окружности – В, отчеркиваем пересечения с окружностью, полученные точки называем, соответственно сверху вниз – С и Р, соединяем их отрезком, который будет пересекать ось ОВ, точку пересечения называем К.

3 шаг

Соединяем точки К и М и получаем отрезок КМ, устанавливаем циркуль в точку М, задаем на нем расстояние до точки К и очерчиваем метки на радиусе ОА, эту точку называем Е, далее ведем циркуль до пересечения с левой верхней частью окружности ОМ. Эту точку пересечения называем F. Расстояние равное отрезку МЕ является искомой стороной равностороннего пятиугольника. При этом точка М будет являться одной вершиной встраиваемого в окружность пятиугольника, а точка F – другой.

4 шаг

Далее из полученных точек по всей окружности отчерчиваем циркулем расстояния, равные отрезку МЕ, всего точек должно получиться 5. Соединяем все точки отрезками – получаем пятиугольник, вписанный в окружность.

При черчении будьте аккуратны в измерениях расстояний, не допускайте погрешностей, чтобы пятиугольник действительно полчился равносторонним

Правильный пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, которая образовывается пересечением пяти прямых, создающих пять одинаковых углов. Такая фигура носит название — пентагон. С пятиугольником тесно связана работа художников — их рисунки строятся на основе правильных геометрических фигур. Для этого необходимо знать то, как быстро построить пентагон.

Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки . Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.

Параметры правильного пятиугольника

Прямоугольный пятиугольник, как и каждая фигура в геометрии, имеет свои параметры. Зная необходимые формулы, можно рассчитать эти параметры, что облегчит процесс построения пентагона. Способы и формулы расчетов:

сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.

Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:

если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.

Площадь пентагона так же , как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:

с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.

описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Построение пентагона

Построить правильный пятиугольник можно с помощью линейки и циркуля, на основе вписанной в него окружности или одной из сторон.

Как начертить пятиугольник на основе вписанной окружности? Для этого необходимо запастись циркулем и линейкой и сделать такие шаги:

Сначала необходимо начертить окружность с центром О, после чего на ней выбрать точку, А — вершину пентагона. От центра к вершине проводится отрезок.

Затем строится перпендикулярная прямой ОА отрезок, который также проходит через О — центр окружности. Его пересечение с окружностью обозначается точкой В. Отрезок О. В. делится пополам точкой С.
Точка С станет центром новой окружности, проходящей через А. Точка D — это ее пересечение с прямой ОВ в границах первой фигуры.
После этого проводится третья окружность через D, центром которой является точка А. Она пересекается с первой фигурой в двух точках, их необходимо обозначить буквами Е и F.
Следующая окружность имеет центр в точке Е и проходит через А, а ее пересечение с первоначальной находится в новой точке G.
Последняя окружность в этом рисунке проводится через точку, А с центром F. На ее пересечении с начальной ставится точка Н.

На первой окружности после всех проделанных шагов появились пять точек, которые необходимо соединить отрезками. Таким образом получился правильный пятиугольник АЕ G Н F.

Как построить правильный пятиугольник иным способом? С помощью линейки и циркуля пентагон можно построить немного быстрее. Для этого необходимо:

Cначала необходимо с помощью циркуля нарисовать окружность, центр которой — точка О.
Чертится радиус ОА — отрезок, который откладывается на окружность. Его делят пополам точкой В.
Перпендикулярно радиусу ОА начерчивается отрезок ОС, точки В и С соединяются прямой.
Следующим шагом является отложение длины отрезка ВС с помощью циркуля на диаметральной линии. Перпендикулярно отрезку ОА появляется точка D. Точки В и D соединяются, образуя новый отрезок.

Для того, чтобы получить величину стороны пентагона, необходимо соединить точки С и D.
D с помощью циркуля переносится на окружность и обозначается точкой Е. Соединив Е и С, можно получить первую сторону правильного пятиугольника. Следуя этой инструкции можно узнать о том, как быстро построить пятиугольник с равными сторонами, продолжая построение остальных его сторон подобно первой.

В пятиугольнике с одинаковыми сторонами диагонали равны и образуют пятиконечную звезду, которая называется пентаграммой. Золотое сечение — это отношение величины диагонали к стороне пентагона.

Пентагон непригоден для полного заполнения плоскости. Использование любого материала в этой форме оставляет промежутки или образует наложения. Хотя природных кристаллов этой формы не существует в природе, но при образовании льда на поверхности гладких медных изделий возникают молекулы в виде пентагона, которые соединены в цепочки.

Наиболее простой способ получить правильный пятиугольник из полоски бумаги — завязать ее узлом и немного придавить. Этот способ полезен для родителей детей-дошкольников, которые хотят научить своих малышей распознавать геометрические фигуры.

Видео

Посмотрите, как можно быстро начертить пятиугольник.

Если под руками нет циркуля, то можно нарисовать простую звезду с пятью лучами затем просто соединить эти лучи. как видим на картинке ниже получается абсолютно правильный пятиугольник.

Математика сложная наука и у нее много своих секретиков, некоторые из них весьма забавны. Если вы увлекаетесь такими вещами советую найти книгу Забавная математика.

Окружность можно нарисовать не только при помощи циркуля. Можно, например, использовать карандаш и нитку. Отмеряем нужный диаметр на нитке. Один конец плотно зажимаем на листе бумаги, где будем чертить окружность. А на другой конец нитки устанавливаемые карандаш и одержим. Теперь действует как с циркулем: натягиваем нить и по окружности слегка надавливая карандашом чкртим окружность.

Внутри окружности рисуем крестьян от центра: вертикальная линия и горизонтальная линия. Точка пересечения вертикальной линии и окружности будет вершиной пятиугольника (точка 1). Теперь правую половину горизонтальной линии делим пополам (точка 2). Измеряем расстояние от этой точки до вершины пятиугольника и этот отрезок откладывает влево от точки 2 (точка 3). При помощи нитки и карандаша проводим от точки 1 радиусом до точки 3 дугу, пересекающую первую окружность слева и справа — точки пересечения будут вершинами пятиугольника. Обозначим их точка 4 и 5.

Теперь от точки 4 делаем дугу, пересекающую окружность в нижней части, радиусом равной длине от точки 1 до 4 — это будет точкой 6. Точно так же и от точки 5 — обозначим точкой 7.

Остатся соединить наш пятиугольник с вершинами 1, 5, 7, 6, 4.

Я знаю как построить простой пятиугольник с помощью циркуля: Строим окружность, отмечаем пять точек, соединяем их. Можно построить пятиугольник с равными сторонами, для этого нам еще понадобится транспортир. Просто те же самые 5 точек ставим по транспортиру. Для этого отмечаем углы по 72 градуса. После чего также соединяем отрезками и получаем нужную нам фигуру.

Зеленую окружность можно чертить произвольным радиусом. В эту окружность будем вписывать правильный пятиугольник. Без циркуля начертить точно окружность нельзя, но это не обязательно. Окружность и все дальнейшие построения можно выполнять от руки. Далее через центр окружности О нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые и одну из точек пересечения прямой с окружностью обозначить А. Точка А будет вершиной пятиугольника. Радиус ОВ разделим пополам и поставим точку С. Из точки С проводим вторую окружность радиусом АС. Из точки А проводим третью окружность радиусом АD. Точки пересечения третьей окружности с первой (Е и F)будут также вершинами пятиугольника. Из точек Е и F радиусом АЕ делаем засечки на первой окружности и получаем остальные вершины пятиугольника G и H.

Адептам черного искусства: что бы просто, красиво и быстро нарисовать пятиугольник, следует начертить правильную, гармоничную основу для пентаграммы (пятиконечная звезда) и соединить окончания лучей этой звезды посредством прямых, ровных линий. Если все было сделано верно — соединительная черта вокруг основы и будет искомым пятиугольником.

(на рисунке — завершенная, но незаполненная пентаграмма)

Для тех, кто неуверен в правильности начертания пентаграммы: возьмите за основу витрувианского человека Да Винчи (см. ниже)

Если нужен пятиугольник — тыкаете произвольным образом 5 точке и их внешний контур будет пятиугольником.

Если нужен правильный пятиугольник, то без математического циркуля это построение совершить невозможно, поскольку без него нельзя провести два одинаковых, но не параллельных отрезка. Любой другой инструмент, который позволяет провести два одинаковых, но не параллельных отрезка эквивалентен математическому циркулю.

Сначала надо надо начертить круг, потом направляющие, потом второй пунктирный круг, находим верхнюю точку, потом отмеряем два угла верхние, от них чертим нижние. Заметьте, радиус циркуля один и тот же при всем построении.

Вс зависит от того, какой пятиугольник вам необходим. Если любой, то ставите пять точек и соединяете их между собой(естествено точки ставим не по прямой линии). А если нужен пятиугольник правильно формы, возьмите любые пять по длине(полосок бумаги, спичек, карандашей и т.п), выложите пятиугольник и обчертите его.

Пятиугольник можно начертить, к примеру, из звезды. Если умеете чертить звезду, но не умеете пятиугольник, начертите звезду карандашом, затем соедините между собой соседние концы звезды, а саму звезду потом сотрите.

Второй способ. Вырежьте полосочку из бумаги, длиной, равной желаемой стороне пятиугольника, а шириной узкой, допустим 0.5 — 1 см. Как по шаблону, вырежьте по этой полосочке ещ четыре таких же полосочки, чтобы их получилось всего 5.

Затем положите лист бумаги (лучше его закрепить на столе при помощи четырх кнопок или иголочек). Затем наложите эти 5 полосочек на листок так, чтобы они образовали пятиугольник. Приколите эти 5 полосочек к листку бумаги кнопками или иголочками, чтобы они оставались неподвижными. Затем обведите полученный пятиугольник и снимите эти полосочки с листка.

Если нет циркуля и нужно построить пятиугольник, то я могу посоветовать следующее. Я и сама так строила. Можно начертить правильную пятиконечную звезду. И после этого, чтобы получить пятиугольник, просто нужно соединить все вершины звезды. Вот так и получится пятиугольник. Вот что мы получим

Ровными чрными линии мы соединили вершины звезды и получили пятиугольник.

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего проводим стороны 5-6 и 3-2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны

1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

Эта фигура является многоугольником с минимальным количеством углов, которым невозможно замостить площадь. Только у пятиугольника количество диагоналей совпадает с количеством его сторон. Воспользовавшись формулами для произвольного правильного многоугольника, можно определить все необходимые параметры, которые имеет пентагон. Например, вписать его в окружность с заданным радиусом либо построить на базе заданной боковой стороны.

Как правильно начертить луч и какие принадлежности для черчения вам понадобятся? Возьмите листок бумаги и отметьте в произвольном месте точку. Затем приложите линейку и проведите линию, начиная с указанной точки и до бесконечности. Чтобы начертить ровную линию, нажмите клавишу «Shift»и проведите линию нужной длины. Сразу после начертания откроется вкладка «Формат». Уберите выделение с линии и увидите, что в начале линии появилась точка. Для создания надписи нажмите кнопку «Нарисовать надпись» и создайте поле, где будет находиться надпись.

Первый способ построения пятиугольника считается более «классическим». Получившаяся в результате построения фигура будет правильным пятиугольником. Двенадцатиугольник не является исключением, поэтому его построение будет невозможным без применения циркуля. Задача построения правильного пятиугольника сводится к задаче деления окружности на пять равных частей. Начертить пентаграмму можно с использованием простейших инструментов.

Я долго бился пытаясь этого добиться и самостоятельно найти пропорции и зависимости, но мне этого не удалось. Оказалось, что есть несколько различных вариантов построения правильного пятиугольника, разработанных известными математиками. Инересным моментов является то, что арифметически эту задачу решить только приблизительно точно, поскольку придется использовать иррациональные числа. Зато ее можно решить геометрически.

Деление окружностей. Точки пересечения этих линий с окружностью и являются вершинами квадрата. В окружности радиуса R (Шаг 1) следует провести вертикальный диаметр. В точке сопряжения N прямой и окружности прямая является касательной к окружности.

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника. Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

А на другой конец нитки устанавливаемые карандаш и одержим. Если умеете чертить звезду, но не умеете пятиугольник, начертите звезду карандашом, затем соедините между собой соседние концы звезды, а саму звезду потом сотрите. Затем положите лист бумаги (лучше его закрепить на столе при помощи четырёх кнопок или иголочек). Приколите эти 5 полосочек к листку бумаги кнопками или иголочками, чтобы они оставались неподвижными. Затем обведите полученный пятиугольник и снимите эти полосочки с листка.

Например, нам нужно нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) для картины о Советском прошлом или о настоящем Китая. Правда для этого нужно уметь создать рисунок звезды в перспективе. Точно так же вы сможете нарисовать фигуру карандашом на бумаге. Как правильно нарисовать звезду, что бы она выглядела ровно и красиво, сразу не ответишь.

С центра опусти на окружность 2 луча, чтоб угол между ними был 72 градуса (транспортиром). Деление круга на пять частей осуществляется с помощью обычного циркуля или транспортира. Поскольку правильный пятиугольник — это одна из фигур, содержащая в себе пропорции золотого сечения, его построением издавна интересовались живописцы и математики. Эти принципы построения с применением циркуля и линейки были изложены еще в эвклидовых «Началах».<circ >><2>>t=<frac <sqrt <5+2<sqrt <5>>>><2>>tapprox 1<,>539t>

Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу 1 + 5 2 <displaystyle <frac <1+<sqrt <5>>><2>>>.

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Радиус вписанной окружности:

r = 5 5 + 2 5 10 t ≈ 0,688 191 t <displaystyle r=<frac <<sqrt <5>><sqrt <5+2<sqrt <5>>>>><10>>tapprox 0<,>688191

Радиус описанной окружности:

R = 1 0 5 + 5 10 t = ( 5 − 1 ) r ≈ 0,850 651 t ≈ 1,236 07 r <displaystyle R=<frac <<sqrt <1>>0<sqrt <5+<sqrt <5>>>>><10>>t=(<sqrt <5>>-1)

d = Φ 5 R = 5 + 1 2 t ≈ 1,902 R ≈ 1,618 t <displaystyle d=<sqrt <Phi <sqrt <5>>>>R=<frac <<sqrt <5>>+1><2>>tapprox 1<,>902

S = 5 5 + 2 5 4 t 2 ≈ 1,720 48 t 2 <displaystyle S=<frac <<sqrt <5>><sqrt <5+2<sqrt <5>>>>><4>>t^<2>approx 1<,>72048

t^<2>>

Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см.<4>=3Phi +2=<frac <3<sqrt <5>>+7><2>>approx 6<,>8541>где Φ <displaystyle Phi >— отношение золотого сечения.

Построение [ править | править код ]

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
Постройте точку C посередине между O и B.
Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Получение с помощью полоски бумаги [ править | править код ]

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

В природе [ править | править код ]

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры. [1] Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская.

Иглокожие, например морские звёзды, обладают пентасимметрией.

Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская.

Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки. Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.

Параметры правильного пятиугольника

сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.

Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:

если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.

Площадь пентагона так же, как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:

с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Построение пентагона

Сначала необходимо начертить окружность с центром О, после чего на ней выбрать точку, А — вершину пентагона. От центра к вершине проводится отрезок.
Затем строится перпендикулярная прямой ОА отрезок, который также проходит через О — центр окружности. Его пересечение с окружностью обозначается точкой В. Отрезок О. В. делится пополам точкой С.
Точка С станет центром новой окружности, проходящей через А. Точка D — это ее пересечение с прямой ОВ в границах первой фигуры.
После этого проводится третья окружность через D, центром которой является точка А. Она пересекается с первой фигурой в двух точках, их необходимо обозначить буквами Е и F.
Следующая окружность имеет центр в точке Е и проходит через А, а ее пересечение с первоначальной находится в новой точке G.
Последняя окружность в этом рисунке проводится через точку, А с центром F. На ее пересечении с начальной ставится точка Н.
На первой окружности после всех проделанных шагов появились пять точек, которые необходимо соединить отрезками. Таким образом получился правильный пятиугольник АЕ G Н F.

Cначала необходимо с помощью циркуля нарисовать окружность, центр которой — точка О.
Чертится радиус ОА — отрезок, который откладывается на окружность. Его делят пополам точкой В.
Перпендикулярно радиусу ОА начерчивается отрезок ОС, точки В и С соединяются прямой.
Следующим шагом является отложение длины отрезка ВС с помощью циркуля на диаметральной линии. Перпендикулярно отрезку ОА появляется точка D. Точки В и D соединяются, образуя новый отрезок.
Для того, чтобы получить величину стороны пентагона, необходимо соединить точки С и D.
D с помощью циркуля переносится на окружность и обозначается точкой Е. Соединив Е и С, можно получить первую сторону правильного пятиугольника. Следуя этой инструкции можно узнать о том, как быстро построить пятиугольник с равными сторонами, продолжая построение остальных его сторон подобно первой.

Интересные факты

Видео

Посмотрите, как можно быстро начертить пятиугольник.

Здравствуйте коллеги.
Сегодня построим правильный пятиугольник в окружности, попробуем начертить циркулем и линейкой фигуру.

Рисунки художников очень тесно связаны с черчением и геометрией. Если мы задумали какую-то композицию, а в ней есть геометрические фигуры, то нам необходимо знать, как изобразить предмет, что бы он не выглядел смешно, и что бы вы не выглядели дилетантом и смогли нарисовать пятиконечную звезду циркулем или в фотошопе. От этого зависит ваш авторитет художника, а значит и заказы.

Построение правильного пятиугольника не так часто встречается в рисунке, но все же есть моменты, когда нам это необходимо.

Мы попробуем нарисовать звезду в фотошопе фронтально. Точно так же вы сможете нарисовать фигуру карандашом на бумаге. Всего лишь с помощью таких инструментов:

Как правильно нарисовать звезду, что бы она выглядела ровно и красиво, сразу не ответишь. Количество углов не четное, поэтому просто разделить окружность на равные части циркулем или линейкой не получится.

Что бы вписанный пятиугольник в окружность был пропорциональный, нам необходимо точно вычислить одну из сторон, а затем отложить этот отрезок пять раз на теле овала.

Как выглядит пятиугольник и звезда

Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.

Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.

Теперь от точки В до точки С проведем прямую.

Отложим расстояние отрезка ВС на диаметральной линии окружности. Для этого можно воспользоваться циркулем. Таким образом у нас появилась точка D.

И отрезок DB. Картинка внизу.

Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.

Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.

Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.

Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.

На этом построение правильного пятиугольника можно закончить. Что бы нарисовать звезду нужно просто соединить углы через один.

Нарисовать пятиконечную звезду циркулем можно так же, как и на нашем уроке в программе Photoshop, весь процесс такой же, только вместо программы графического редактора используем инструменты для черчения.

Так же можно посмотреть уроки построения шестиугольника, разделение на восемь частей, деление круга на семь частей, десять равных частей.

Правильный пятиугольник построение по клеткам

Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки. Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.

Параметры правильного пятиугольника

сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.

Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:

если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.

Площадь пентагона так же, как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:

с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Построение пентагона

Сначала необходимо начертить окружность с центром О, после чего на ней выбрать точку, А — вершину пентагона. От центра к вершине проводится отрезок.
Затем строится перпендикулярная прямой ОА отрезок, который также проходит через О — центр окружности. Его пересечение с окружностью обозначается точкой В. Отрезок О. В. делится пополам точкой С.
Точка С станет центром новой окружности, проходящей через А. Точка D — это ее пересечение с прямой ОВ в границах первой фигуры.
После этого проводится третья окружность через D, центром которой является точка А. Она пересекается с первой фигурой в двух точках, их необходимо обозначить буквами Е и F.
Следующая окружность имеет центр в точке Е и проходит через А, а ее пересечение с первоначальной находится в новой точке G.
Последняя окружность в этом рисунке проводится через точку, А с центром F. На ее пересечении с начальной ставится точка Н.
На первой окружности после всех проделанных шагов появились пять точек, которые необходимо соединить отрезками. Таким образом получился правильный пятиугольник АЕ G Н F.

Cначала необходимо с помощью циркуля нарисовать окружность, центр которой — точка О.
Чертится радиус ОА — отрезок, который откладывается на окружность. Его делят пополам точкой В.
Перпендикулярно радиусу ОА начерчивается отрезок ОС, точки В и С соединяются прямой.
Следующим шагом является отложение длины отрезка ВС с помощью циркуля на диаметральной линии. Перпендикулярно отрезку ОА появляется точка D. Точки В и D соединяются, образуя новый отрезок.
Для того, чтобы получить величину стороны пентагона, необходимо соединить точки С и D.
D с помощью циркуля переносится на окружность и обозначается точкой Е. Соединив Е и С, можно получить первую сторону правильного пятиугольника. Следуя этой инструкции можно узнать о том, как быстро построить пятиугольник с равными сторонами, продолжая построение остальных его сторон подобно первой.

Интересные факты

Видео

Посмотрите, как можно быстро начертить пятиугольник.

Как выглядит пятиугольник и звезда

Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.

Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.

Теперь от точки В до точки С проведем прямую.

И отрезок DB. Картинка внизу.

Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.

Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.

Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.

Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.

Последние события

Рисуем цыпленка

Вот такого цыпленка вы сможете нарисовать, если вы выполните все действия четко по шагам. Пробуйте и все у вас получится!

Елка-раскраска на стену

А так как скоро Новый Год, предлагаю скачать шаблон большой елки-раскраски. Этот шаблон состоит из 22 двух листов формата А4. На них нанесен и основной рисунок, и линии по которым нужно эти листочки склеить.

Дедушка Мороз и дети

Дед Мороз, Снегурочка, Снеговик, птицы и звери в лесу , дети на новогоднем празднике – вот герои этой книжки-раскраски. А создал их художник В. Жигарев.

Маша и Медведь. Зимние раскраски

Мультик про шуструю озорную маленькую девочку Машу и ее приятеля медведя нравится всем – и детишкам, и их родителям.

Раскраски с дедом Морозом

Новый год наступил. Но впереди еще старый новый год, да и зима еще вся впереди. Раскрашиваем картинки с Дедом Морозом и Снегурочкой.

Раскраски к новому году

Новогодние раскраски. Зима, елка, дед Мороз в санях, подарки. Скачайте забавные картинки, пусть они напоминают вам о веселом празднике.

Новогодняя елка. Раскраски

Символ Нового года – елочка, украшенная игрушками, гирляндами, мишурой.

Скачайте раскраски с новогодней елкой. Картинку можно не просто раскрасить, а превратить в поздравительную открытку.

Архив

Как нарисовать правильную звездочку? Как нарисовать правильный пятиугольник? Как разделить круг на пять равных частей? На все эти вопросы вы сможете найти ответ, если проделаете вслед за мной эти шаги.

Как нарисовать правильную звездочку?

Как нарисовать правильный пятиугольник?

Как разделить круг на пять равных частей?

На все эти вопросы вы сможете найти ответ, если проделаете вслед за мной вот эти шаги.

Конечно же, нам понадобится циркуль с карандашом и линейка.

Для начала нарисуйте циркулем круг.

Разделите его на четыре части линиями сверху вниз и справа налево.

Можно сразу объяснить ребенку, что отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр, называется диаметр.

А отрезок, соединяющий центр и точку на окружности, называется радиус.

С помощью линейки измерьте и разделите пополам один из радиусов.

У меня это отрезок слева от центра.

Серединку радиуса я обозначила

Нам понадобится точка сверху окружности.

Ее я обозначила цифрой 0.

Устанавливаем иголку циркуля

в точку 1, а карандашик в точку 0.

Рисуем дугу до пересечения с горизонтальным диаметром.

Обозначаем точку пересечения

Сейчас устанавливаем иголку циркуля

в точку 0, а карандашик в точку 2.

И рисуем дугу до пересечения с окружностью, причем с двух сторон.

Точки пересечения помечены

Не меняя ширину циркуля, устанавливаем иголку

в точку 3 и отмеряем кусочек окружности.

Точку 6 можно отмерить и от

точки 5 и от точки 4.

Главное, не изменять ширину (раствор) ножек циркуля.

Вот, практически и все.

Если соединим точки, получим правильный пятиугольник.

чем он интересен и как его построить

Есть ли поблизости от Вас карандаш? Взгляните-ка на его сечение – оно представляет собой правильный шестиугольник или, как его еще называют, гексагон. Такую форму имеет также сечение гайки, поле гексагональных шахмат, кристаллическая решетка некоторых сложных молекул углерода (к примеру, графит), снежинка, пчелиные соты и другие объекты. Гигантский правильный шестиугольник был недавно обнаружен в атмосфере Сатурна. Не кажется ли странным столь частое использование природой для своих творений конструкций именно этой формы? Давайте рассмотрим эту фигуру поподробнее.

Правильный шестиугольник представляет собой многоугольник с шестью одинаковыми сторонами и равными углами. Из школьного курса нам известно, что он обладает следующими свойствами:

Длина его сторон соответствует радиусу описанной окружности. Из всех геометрических фигур это свойство имеет лишь правильный шестиугольник.
Углы равны между собой, и величина каждого составляет 120°.
Периметр гексагона можно найти по формуле Р=6*R, если известен радиус описанной вокруг него окружности, или Р=4*√(3)*r, если окружность в него вписана. R и r – радиусы описанной и вписанной окружности.
Площадь, которую занимает правильный шестиугольник, определяется следующим образом: S=(3*√(3)*R²)/2. Если радиус неизвестен, вместо него подставляем длину одной из сторон – как известно, она соответствует длине радиуса описанной окружности.

У правильного шестиугольника есть одна интересная особенность, благодаря которой он получил в природе такое широкое распространение, – он способен заполнить любую поверхность плоскости без наложений и пробелов. Существует даже так называемая лемма Пала, согласно которой правильный гексагон, сторона которого равна 1/√(3), представляет собой универсальную покрышку, то есть может покрыть любое множество с диаметром в одну единицу.

Теперь рассмотрим построение правильного шестиугольника. Есть несколько способов, самый простой из которых предполагает использование циркуля, карандаша и линейки. Вначале рисуем циркулем произвольную окружность, затем в произвольном месте на этой окружности делаем точку. Не меняя раствора циркуля, ставим острие в эту точку, отмечаем на окружности следующую насечку, продолжаем так до тех пор, пока не получим все 6 точек. Теперь остается лишь соединить их между собой прямыми отрезками, и получится искомая фигура.

На практике бывают случаи, когда требуется нарисовать шестиугольник большого размера. Например, на двухуровневом гипсокартонном потолке, вокруг места крепления центральной люстры, нужно установить на нижнем уровне шесть небольших светильников. Циркуль таких размеров найти будет очень и очень сложно. Как поступить в этом случае? Как вообще нарисовать большую окружность? Очень просто. Нужно взять крепкую нить нужной длины и обвязать один из ее концов напротив карандаша. Теперь осталось лишь найти помощника, который бы прижал к потолку в нужной точке второй конец нити. Конечно, в этом случае возможны незначительные погрешности, но вряд ли они вообще будут заметны постороннему человеку.

Начерти от руки треугольник квадрат круг пятиугольник. Построение правильного пятиугольника. Деление окружности на равные части и вписывание правильных многоугольников

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника. Дан правильный многоугольник, число сторон которого представляет собой произведение натуральных чисел k и m, где m>2. Как построить правильный m-угольник? Гаусс показал также возможность построения правильного 257-угольника с помощью циркуля и линейки.

Построить пятиугольник и поможет именно эта окружность. В первую очередь необходимо построить циркулем окружность. Аналогичным образом необходимо построить еще один круг. Центр его в G. Точка пересечения его с первоначальной окружностью пусть будет H. Это последняя вершина правильного многоугольника.

Правда, процесс это достаточно длительный, как, впрочем, и построение любого правильного многоугльника с нечетным количеством сторон. Она и представляет собой многоугольник, остается только ввести параметры. Число сторон может достигать 1024. Можно использовать и командную строку, в зависимости от версии набрав « _polygon» или «мн.-угол».

Деление окружности на равные части и вписывание правильных многоугольников.

Введите туда цифру «5» и нажмите Enter. Вам будет предложено определить центр пятиугольника. Можно обозначить их как (0,0), но могут быть и любые другие данные. Пятиугольник может быть описанным вокруг окружности или вписанным в нее, но можно построить его и по заданному размеру стороны. Пятиугольник по заданной стороне сначала строится точно так же. Выберите «Рисование», замкнутую полилинию и введите число сторон.

В командной строке наберите координаты начальной и конечной точек одной из сторон пятиугольника. После этого пятиугольник появится на экране. Таким нехитрым способом можно построить не только пятиугольник. Для того чтобы построить треугольник, необходимо разведите ножки циркуля на расстояние, равное радиусу окружности.

Две точки пересечения окружностей, а так же точка, в которой была ножка циркуля образуют три вершины правильного треугольника. Оказалось, что есть несколько различных вариантов построения правильного пятиугольника, разработанных известными математиками. Восьмиугольник — это геометрическая фигура с восемью углами. Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны (и углы) равны. Эта статья расскажет вам, как сделать восьмиугольник.

Окружность, дуги и многоугольники.

Определите длину стороны восьмиугольника (углы правильного восьмиугольника известны). На листе бумаги при помощи линейки нарисуйте прямую линию выбранной длины. Это первая сторона восьмиугольника (нарисуйте ее так, чтобы оставить место для рисования других сторон). Используя транспортир, отложите угол в 135o (от начала или конца первой стороны). Нарисуйте третью линию выбранной длины под углом в 135o ко второй линии. Продолжайте до тех пор, пока у вас не получится правильный восьмиугольник.

Таким образом, чем больше окружность, тем больше фигура (и наоборот). Нарисуйте вторую большую окружность, установив иглу циркуля в центре первой окружности. Установите иглу циркуля в прямо противоположной точке пересечения внутренней (малой) окружности и ее диаметра. У вас получится «глаз» в середине окружности. Нарисуйте две дуги, пересекающие внутреннюю окружность.

Построение правильных многоугольников по заданной стороне

Сотрите окружности, линии и дуги, оставив только восьмиугольник. Таким образом, вы придадите ему восьмиугольную форму. Используйте линейку, чтобы убедиться, что все стороны получились равными (так как вы делаете правильный восьмиугольник). Не загибайте углы так, чтобы они соприкасались друг с другом; в этом случае вы получите не восьмиугольник, а небольшой квадрат. Зачастую, когда говорят «восьмиугольник», имеют в виду правильный восьмиугольник.

Смотреть что такое «Правильный пятиугольник» в других словарях:

Таким образом, создав фигуру с восемью сторонами разной длины, вы получите неправильный восьмиугольник. Существуют многоугольники с пересекающимися сторонами. Например, пятиконечная звезда является многоугольником с пересекающимися сторонами. Правильные многоугольники уже в глубокой древности считались символом красоты и совершенства. Практическая задача построения таких многоугольников с помощью циркуля и линейки имеет давнюю историю.

Лишь в 1796 г. К. Ф. Гаусc доказал принципиальную невозможность этого построения с помощью только циркуля и линейки. В настоящем параграфе мы предлагаем вам самим поискать способы построения правильных многоугольников, вписанных в данную окружность или имеющих заданную сторону. Не менее важное практическое значение имеют методы приближенного построения в тех случаях, когда точное построение циркулем и линейкой неосуществимо.

Правильный пятиугольник — это многоугольник, у которого все пять сторон и все пять углов равны между собой. Вокруг него легко описать окружность. Теперь на окружности радиуса AО от любой точки последовательно отложим 11 дуг, каждая из которых равна дуге АВ.2}{4}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5

{2}};

Правильный пятиугольник (греч. πενταγωνον ) — геометрическая фигура , правильный многоугольник с пятью сторонами.

Свойства

Додекаэдр — единственный из правильных многогранников , грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
Пентагон — здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.
Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.
Пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией 4-симплекса.

См. также

Напишите отзыв о статье «Правильный пятиугольник»

Примечания



По числу сторон

Правильные

Треугольники

Четырёхугольники

См. также



Многоугольники

Звёздчатые многоугольники

Паркеты на плоскости

Правильные многогранники и сферические паркеты

Многогранники Кеплера — Пуансо

Соты

Четырёхмерные многогранники

Отрывок, характеризующий Правильный пятиугольник

Петя не знал, как долго это продолжалось: он наслаждался, все время удивлялся своему наслаждению и жалел, что некому сообщить его. Его разбудил ласковый голос Лихачева.
– Готово, ваше благородие, надвое хранцуза распластаете.
Петя очнулся.
– Уж светает, право, светает! – вскрикнул он.
Невидные прежде лошади стали видны до хвостов, и сквозь оголенные ветки виднелся водянистый свет. Петя встряхнулся, вскочил, достал из кармана целковый и дал Лихачеву, махнув, попробовал шашку и положил ее в ножны. Казаки отвязывали лошадей и подтягивали подпруги.
– Вот и командир, – сказал Лихачев. Из караулки вышел Денисов и, окликнув Петю, приказал собираться.

Быстро в полутьме разобрали лошадей, подтянули подпруги и разобрались по командам. Денисов стоял у караулки, отдавая последние приказания. Пехота партии, шлепая сотней ног, прошла вперед по дороге и быстро скрылась между деревьев в предрассветном тумане. Эсаул что то приказывал казакам. Петя держал свою лошадь в поводу, с нетерпением ожидая приказания садиться. Обмытое холодной водой, лицо его, в особенности глаза горели огнем, озноб пробегал по спине, и во всем теле что то быстро и равномерно дрожало.
– Ну, готово у вас все? – сказал Денисов. – Давай лошадей.
Лошадей подали. Денисов рассердился на казака за то, что подпруги были слабы, и, разбранив его, сел. Петя взялся за стремя. Лошадь, по привычке, хотела куснуть его за ногу, но Петя, не чувствуя своей тяжести, быстро вскочил в седло и, оглядываясь на тронувшихся сзади в темноте гусар, подъехал к Денисову.
– Василий Федорович, вы мне поручите что нибудь? Пожалуйста… ради бога… – сказал он. Денисов, казалось, забыл про существование Пети. Он оглянулся на него.
– Об одном тебя пг»ошу, – сказал он строго, – слушаться меня и никуда не соваться.
Во все время переезда Денисов ни слова не говорил больше с Петей и ехал молча. Когда подъехали к опушке леса, в поле заметно уже стало светлеть. Денисов поговорил что то шепотом с эсаулом, и казаки стали проезжать мимо Пети и Денисова. Когда они все проехали, Денисов тронул свою лошадь и поехал под гору. Садясь на зады и скользя, лошади спускались с своими седоками в лощину. Петя ехал рядом с Денисовым. Дрожь во всем его теле все усиливалась. Становилось все светлее и светлее, только туман скрывал отдаленные предметы. Съехав вниз и оглянувшись назад, Денисов кивнул головой казаку, стоявшему подле него.
– Сигнал! – проговорил он.
Казак поднял руку, раздался выстрел. И в то же мгновение послышался топот впереди поскакавших лошадей, крики с разных сторон и еще выстрелы.
В то же мгновение, как раздались первые звуки топота и крика, Петя, ударив свою лошадь и выпустив поводья, не слушая Денисова, кричавшего на него, поскакал вперед. Пете показалось, что вдруг совершенно, как середь дня, ярко рассвело в ту минуту, как послышался выстрел. Он подскакал к мосту. Впереди по дороге скакали казаки. На мосту он столкнулся с отставшим казаком и поскакал дальше. Впереди какие то люди, – должно быть, это были французы, – бежали с правой стороны дороги на левую. Один упал в грязь под ногами Петиной лошади.
У одной избы столпились казаки, что то делая. Из середины толпы послышался страшный крик. Петя подскакал к этой толпе, и первое, что он увидал, было бледное, с трясущейся нижней челюстью лицо француза, державшегося за древко направленной на него пики.
– Ура!.. Ребята… наши… – прокричал Петя и, дав поводья разгорячившейся лошади, поскакал вперед по улице.
Впереди слышны были выстрелы. Казаки, гусары и русские оборванные пленные, бежавшие с обеих сторон дороги, все громко и нескладно кричали что то. Молодцеватый, без шапки, с красным нахмуренным лицом, француз в синей шинели отбивался штыком от гусаров. Когда Петя подскакал, француз уже упал. Опять опоздал, мелькнуло в голове Пети, и он поскакал туда, откуда слышались частые выстрелы. Выстрелы раздавались на дворе того барского дома, на котором он был вчера ночью с Долоховым. Французы засели там за плетнем в густом, заросшем кустами саду и стреляли по казакам, столпившимся у ворот. Подъезжая к воротам, Петя в пороховом дыму увидал Долохова с бледным, зеленоватым лицом, кричавшего что то людям. «В объезд! Пехоту подождать!» – кричал он, в то время как Петя подъехал к нему.
– Подождать?.. Ураааа!.. – закричал Петя и, не медля ни одной минуты, поскакал к тому месту, откуда слышались выстрелы и где гуще был пороховой дым. Послышался залп, провизжали пустые и во что то шлепнувшие пули. Казаки и Долохов вскакали вслед за Петей в ворота дома. Французы в колеблющемся густом дыме одни бросали оружие и выбегали из кустов навстречу казакам, другие бежали под гору к пруду. Петя скакал на своей лошади вдоль по барскому двору и, вместо того чтобы держать поводья, странно и быстро махал обеими руками и все дальше и дальше сбивался с седла на одну сторону. Лошадь, набежав на тлевший в утреннем свето костер, уперлась, и Петя тяжело упал на мокрую землю. Казаки видели, как быстро задергались его руки и ноги, несмотря на то, что голова его не шевелилась. Пуля пробила ему голову.
Переговоривши с старшим французским офицером, который вышел к нему из за дома с платком на шпаге и объявил, что они сдаются, Долохов слез с лошади и подошел к неподвижно, с раскинутыми руками, лежавшему Пете.
– Готов, – сказал он, нахмурившись, и пошел в ворота навстречу ехавшему к нему Денисову.
– Убит?! – вскрикнул Денисов, увидав еще издалека то знакомое ему, несомненно безжизненное положение, в котором лежало тело Пети.
– Готов, – повторил Долохов, как будто выговаривание этого слова доставляло ему удовольствие, и быстро пошел к пленным, которых окружили спешившиеся казаки. – Брать не будем! – крикнул он Денисову.

Получение с помощью полоски бумаги

Остатся соединить наш пятиугольник с вершинами 1, 5, 7, 6, 4.

(на рисунке — завершенная, но незаполненная пентаграмма)

Если нужен пятиугольник — тыкаете произвольным образом 5 точке и их внешний контур будет пятиугольником.

Ровными чрными линии мы соединили вершины звезды и получили пятиугольник.

Параметры правильного пятиугольника

сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.

Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:

если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.

Площадь пентагона так же , как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:

с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Построение пентагона

Сначала необходимо начертить окружность с центром О, после чего на ней выбрать точку, А — вершину пентагона. От центра к вершине проводится отрезок.
Затем строится перпендикулярная прямой ОА отрезок, который также проходит через О — центр окружности. Его пересечение с окружностью обозначается точкой В. Отрезок О. В. делится пополам точкой С.
Точка С станет центром новой окружности, проходящей через А. Точка D — это ее пересечение с прямой ОВ в границах первой фигуры.
После этого проводится третья окружность через D, центром которой является точка А. Она пересекается с первой фигурой в двух точках, их необходимо обозначить буквами Е и F.
Следующая окружность имеет центр в точке Е и проходит через А, а ее пересечение с первоначальной находится в новой точке G.
Последняя окружность в этом рисунке проводится через точку, А с центром F. На ее пересечении с начальной ставится точка Н.
На первой окружности после всех проделанных шагов появились пять точек, которые необходимо соединить отрезками. Таким образом получился правильный пятиугольник АЕ G Н F.

Cначала необходимо с помощью циркуля нарисовать окружность, центр которой — точка О.
Чертится радиус ОА — отрезок, который откладывается на окружность. Его делят пополам точкой В.
Перпендикулярно радиусу ОА начерчивается отрезок ОС, точки В и С соединяются прямой.
Следующим шагом является отложение длины отрезка ВС с помощью циркуля на диаметральной линии. Перпендикулярно отрезку ОА появляется точка D. Точки В и D соединяются, образуя новый отрезок.
Для того, чтобы получить величину стороны пентагона, необходимо соединить точки С и D.
D с помощью циркуля переносится на окружность и обозначается точкой Е. Соединив Е и С, можно получить первую сторону правильного пятиугольника. Следуя этой инструкции можно узнать о том, как быстро построить пятиугольник с равными сторонами, продолжая построение остальных его сторон подобно первой.

Видео

Посмотрите, как можно быстро начертить пятиугольник.

Как циркулем нарисовать квадрат — MOREREMONTA

Здесь легко и интересно общаться. Присоединяйся!

хм. рисуем круг, от центра на окружности отмечаем 4 точки, соединяем внутри круга по заданному радиусу между собой точки, вуаля!

С помощью нитей

в правую руку берешь циркуль, левую ложишь на лист и аккуратно рисуешь квадрат. можно внаоборот.

Если менять положение

Передвигать иглу вдоль линии до нужного размера)

Спроси у Малевича. Он мастер рисовки квадрата.

рисуй с великого бодуна, может и многогранник получиться

Ох, это искусство!)) И оно требует жертв.

Положить его и обвести.

Только круглый квадрат

Дело по всей видимости упирается в два круга.

А зачем?есть циркуль,но нет линейки?

Положить раскрытый циркуль на бумагу, обрисовать его карандашом, потом снять его и приложить к нарисованному с другой стороны, предварительно соединив с нарисованными линиями, опять обрисовать карандашом, убрать циркуль с бумаги. и вуаля . квадрат перед вами.

проще 4 шага сделать

Войдите на сайт,
чтобы увидеть изображение.

Мы в академиях не кончали.

Я вообще нигде не учился, и то вонял.

Также как ручкой стиреть,что написал

Потому что

Почему бы и нет))

шлепнуть по нему

Снять цыркуль взять линейку и начертить

Молча. Берём и рисуем)

квадратуРА круга= форма живой клетки 3-Д

Войдите на сайт,
чтобы увидеть изображение.

с помощью линейки

а линейкой круг?

Нарисуйте круг и откусите с 4 сторон

Не смогу,не умею.

Войдите на сайт,
чтобы увидеть изображение.

Путем подтягивания ножки с карандашом к ножке с иглой

это не его функция.

Берёшь линейку и карандаш от циркуля

Ну как??берёшь циркуль. и рисуешь)))

ути умница какая)

Ага. я такая. я линейкой могу окружность нарисовать от руки)))))

А нечего ерундой заниматься. ты билеты взял? Конская морда. Заметь, тебя царская морда спрашивает!?

надо бы как-то назваться. нам.

Пипец и пипецка))))

у меня получилось. Когда я подвыпивший племяннику что-то чертил

Легко. Использовать его как карандаш.

просто взять и нарисовать, не усложняй

надо взять линейку

я не узнаю вас в гримме)

))) Ворона-альбинос) прелестна, прелестна)

Это я как бы блондинка?? Ну,спасибо,конь.

Задачу задали, Коняга? Доброе утро!

Да) доброе утречко)

из каждого угла восставлять перпендикуляр. То есть из двух углов перпендикуляры, а дальше проще. Ну или пересечением двух 6-ти-гранников в круге

Сначала прямую. Потом циркулем построить ей перпендикулярную. Потом в пересечение поставить иглу и нарисовать окружность. Точки пересечения -углы квадрата. А теперь окружность легко делится на 12 частей.

4 раза прошли по периметру сложенным циркулем. Или -окружность.далее через центр диаметры и одинаковое расстояние от центра .

Войдите на сайт,
чтобы увидеть изображение.

Картинки не видно.

Вокруг одного круга нарисовать ещё четыре паралельно друг другу и соеденить точки соприкосновения

Основы черчения

Строительное

Машиностроительное

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего проводим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Квадрат — это четырехугольник с прямыми углами и равными сторонами. Кажется, что такую фигуру легко нарисовать, не правда ли? Но не будьте так самоуверенны. Чтобы начертить идеальный квадрат, необходимо располагать кое-чем еще, кроме твердой руки. Умение чертить квадрат при помощи циркуля и транспортира вполне может пригодиться.

Урок 33. круг. окружность (центр, радиус, диаметр) — Математика — 3 класс

Математика, 3 класс

Урок №33. Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— что такое окружность и круг?

— какие элементы имеет окружность?

— чем отличается круг от окружности?

Глоссарий по теме:

Окружность — это замкнутая кривая, все точки которой одинаково удалены от центра.

Круг – это геометрическая фигура, которая ограничена окружностью.

Радиус- это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Диаметр – отрезок, который соединяет две точки окружности, проходящий через центр.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. с. 94-96.

2. Рудницкая В. Н. Тесты по тматематике:3 класс. М.:Издательство «Экзамен», 2016 с. 48-51.

3. Рудницкая В.Н. Контрольные работы по математике:3 класс. М.: Издательство»Экзамен», 2017, с. 49-54.

4. Рудницкая В. Н. КИМ ВПР. Математика .3 класс. М.: Издательство «Экзамен», 2018, с. 77-79.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

С незапамятных времен люди используют в своей жизни круг.

1. Около 3300 года до нашей эры стали применять гончарный круг, делать круглую посуду – тарелки, вазы, кастрюли, горшки, сковородки. У посуды есть окружность (верхний край) и круг (дно).

2. Мы не можем представить свою жизнь без машин: автобус, велосипед, швейная, машинки, самолет, луноход, различные станки, подъемный кран…Они не похожи друг на друга, но присмотримся к ним повнимательнее. Есть у них у всех похожие части – детали, и одна из них – колесо. Сначала колеса были круглые и гладкие, чтобы по земле легко катились, а потом человек придумал много разных колес.

3. Круг и окружность широко применяются в архитектуре и искусстве: круглые арки, своды, купола. Круг – это форма кочевых шатров и поселений. Еще древние греки обнаружили, что с помощью циркуля и линейки можно построить множество фигур, включая шестиугольники, квадраты и другие правильные многоугольники, и создавать волшебные узоры.

4. Необозрима сфера применения круга в математике: тригонометрический круг, круги Эйлера, задачи на построение, круговые диаграммы и т.д. Многие приборы имеют круглую шкалу, в математике таким прибором является транспортир .

5. Картинки с волшебными кругами люди используют в медицинских целях, когда на них смотришь, кажется, что они двигаются. Если смотреть на них несколько минут, то проходит головная боль.

6. Также человек использует круг, как универсальный символ, означающий целостность, непрерывность, первоначальное совершенство. Три концентрических круга символизируют прошлое, настоящее и будущее; три сферы земли: землю, воздух и воду.

Круг в жизни человека имеет очень важную роль, и без использования круглых предметов обойтись невозможно.

Окружность и круг – удивительно гармоничные, совершенные, простые фигуры. Окружность – единственная замкнутая кривая, которая может “скользить сама по себе”, вращаясь вокруг центра, поэтому колеса делают круглыми, а не квадратными или треугольными.

Круг – это колесо. Колесо – это прогресс – движение вперед. Если остановится колесо, то остановится колесо Истории. Остановятся все виды транспорта, остановятся все часы и механизмы, фабрики и заводы.

Круг – символ цикличности, повторяемости. Все движется по кругу.

Круг дает ощущение взаимосвязи с Космосом.

Сама природа выбирает эту удобную и компактную форму как шар и круг.

Сравним две фигуры.

На 1 рисунке видим замкнутую кривую линию, на которой находятся точки К и С на одинаковых расстояниях от точки О.Такая замкнутая кривая называется окружностью. Точка О — центр окружности. Все точки, поставленные на окружности, находятся на одинаковом расстоянии от центра!

Есть специальный инструмент, который позволяет чертить окружности – это циркуль.

На рисунке 2 видим геометрическую фигуру, которая ограничена окружностью. Эта фигура называется круг.

Вывод: окружность — граница круга; круг — часть внутри окружности. В таблице указаны отличительные признаки круга и окружности:

Если соединить любую точку окружности с ее центром, то получится отрезок, который называется радиусом.

Если соединить 2 точки окружности, проходящих через центр, получится отрезок, который называется диаметром.

Диаметр делит круг на две равные части и все диаметры у окружности равной длины.

Задания тренировочного модуля:

1. Длина радиуса составляет 6 см. Чему равен диаметр окружности?

6см; 12 см; 3см.

Правильный ответ: 12см.

2. Заполните таблицу

радиус	4 см	3 см	7 дм	5 дм
диаметр

Правильный ответ:

радиус	4 см	3 см	7 дм	5 дм
диаметр	8 см	6 см	14 дм	10 дм

рисовать фигуры сложно | охей [блог]

Моя жена собирает простой подарок для нашей племянницы. Чтобы не испортить сюрприз, я не буду говорить о деталях. Потребовалось несколько шестиугольников. Логично, что мы начали с восьмиугольника.

Я подошел к этому математически. Найдите середину одного края, проработайте равное расстояние с обеих сторон, затем соедините точки. Бам.

Обычный провал шестиугольника 1 фотография на flickr, сделанная bennettscience, предоставлена по лицензии Creative Commons (BY)

Подождите… это не сработало.

Итак, я перешел к кругу, который представляет диаметр частей восьмиугольника. Ну, круг был трудным, потому что у меня не было транспортира, чтобы получить правильные углы. Итак, я перешел к прямоугольнику с вырезанными прямоугольными треугольниками.

Обычные провалы шестиугольника 2 и 3 фотография flickr, сделанная bennettscience, предоставлена по лицензии Creative Commons (BY)

Обычный провал шестиугольника 4 фотография flickr, сделанная bennettscience, предоставлена по лицензии Creative Commons (BY)

Ну, без транспортира трудно нарисовать угол в 120 градусов.Тем не менее, я мог бы сделать среднее 45 с квадратным лоскутом для квилтинга.

Признав поражение, я заскочил в Google и нашел несколько сообщений, выполнив поиск «нарисуйте правильный шестиугольник». Поиски изображений были многообещающими: одно было связано с сообщением из Университета штата Нью-Мексико, в котором описывалось, как нарисовать правильный шестиугольник с помощью круга и циркуля.

Я пошел в гараж и нашел компас, который, вероятно, был у моего дедушки еще до моего рождения, который я зацепил, убирая гараж мамы и папы в прошлом году.Он спокойно сидел в нашем гараже до тех пор, пока его не попросили, после чего он отлично работал.

Компас для победы, фотография на flickr, сделанная bennettscience, предоставлена по лицензии Creative Commons (BY)

Это быстро напомнило мне о ментальном диссонансе между мыслями о том, что я знаю, как что-то должно работать, и способностью описать, как это на самом деле работает . Лучше всего то, что количество точек на окружности бесконечно, если известен радиус.Чем больше точек я рисую, тем ближе подхожу к другому кругу. Это поразило меня в Flatland (видимо, теперь есть фильм?), И это снова поразило меня, когда я снялся в субботу днем.

Мы на пути к одному сладкому подарку (все запланировано и выполнено моей талантливой женой).

Прогресс подарка, фотография на flickr, сделанная bennettscience, предоставлена по лицензии Creative Commons (BY)

открытых учебников | Сиявула

Математика

Наука

- Читать онлайн
- Учебники
  - Английский
    - Класс 7A
    - Марка 7Б
    - 7 класс (A и B вместе)
  - Африкаанс
    - Граад 7А
    - Граад 7Б
    - Граад 7 (A en B saam)
- Пособия для учителя
- Читать онлайн
- Учебники
  - Английский
    - Марка 8A
    - Сорт 8Б
    - Оценка 8 (вместе A и B)
  - Африкаанс
    - Граад 8А
    - Граад 8Б
    - Граад 8 (A en B saam)
- Пособия для учителя
- Читать онлайн
- Учебники
  - Английский
    - Марка 9А
    - Марка 9Б
    - 9 класс (A и B вместе)
  - Африкаанс
    - Граад 9А
    - Граад 9Б
    - Граад 9 (A en B saam)
- Пособия для учителя
- Читать онлайн
- Учебники
  - Английский
    - Класс 4A
    - Класс 4Б
    - Класс 4 (вместе A и B)
  - Африкаанс
    - Граад 4А
    - Граад 4Б
    - Граад 4 (A en B saam)
- Пособия для учителя
- Читать онлайн
- Учебники
  - Английский
    - Марка 5A
    - Марка 5Б
    - Оценка 5 (вместе A и B)
  - Африкаанс
    - Граад 5А
    - Граад 5Б
    - Граад 5 (A en B saam)
- Пособия для учителя
- Читать онлайн
- Учебники
  - Английский
    - Марка 6А
    - Марка 6Б
    - 6 класс (A и B вместе)
  - Африкаанс
    - Граад 6А
    - Граад 6Б
    - Граад 6 (A en B saam)
- Пособия для учителя

Наша книга лицензионная

Эти книги не просто бесплатные, они также имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (брендированные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:

CC-BY-ND (фирменные версии)

Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий.Вы можете делать ксерокопии, распечатывать и распространять их сколько угодно раз. Вы можете скачать их на свой мобильный телефон, iPad, ПК или флешку. Вы можете записать их на компакт-диск, отправить по электронной почте или загрузить на свой веб-сайт. Единственное ограничение заключается в том, что вы не можете адаптировать или изменять эти версии учебников, их содержание или обложки каким-либо образом, поскольку они содержат соответствующие бренды Siyavula, спонсорские логотипы и одобрены Департаментом базового образования. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Непортированный.

Узнайте больше о спонсорстве и партнерстве с другими, которые сделали возможным выпуск каждого из открытых учебников.

CC-BY (версии без марочного знака)

Эти небрендовые версии одного и того же контента доступны для вас, чтобы вы могли делиться ими, адаптировать, преобразовывать, модифицировать или дополнять их любым способом, с единственным требованием — дать соответствующую оценку Siyavula. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution 3.0 Unported.

Эссе 2: Построение правильных многоугольников

Шона Д.Broderick

Правильные многоугольники — это замкнутые плоские фигуры, состоящие из ребер равной длины и вершин равного размера. Самый простой правильный многоугольник — это равносторонний треугольник, который состоит из трех ребер равной длины и трех углов между каждой парой ребер, составляющих 60 градусов. Три ребра — это наименьшее количество ребер для построения многоугольника, потому что два ребра образуют угол, а одно ребро — сегмент. Полигоны — это замкнутые фигуры. Правильный многоугольник с четырьмя ребрами и есть квадрат. Пять ребер составляют пятиугольник, а шесть — шестиугольник.

Мы исследуем, как построить правильные многоугольники, используя циркуль и линейку, в сравнении с программой динамической геометрии, такой как Sketchpad Geometer.

Сначала рассмотрим построение равностороннего треугольника с линейкой и циркулем. Это простейший правильный многоугольник на плоскости. Он состоит из трех сторон.

1. Мы начинаем с рисования произвольной точки A.

2. Затем мы открываем наш компас на фиксированное расстояние и делаем небольшую отметку справа от нашей точки A.Это то место, где в конечном итоге будет наша точка B.

3. Не отрывая циркуль от бумаги, перемещаем конец карандаша вверх и к середине и делаем еще одну отметку. Это будет то место, куда в конечном итоге попадет точка C.

4. Теперь мы помечаем нашу точку B в любом месте отметки. (Почему мы можем отметить его где-нибудь на линии и при этом сохранить определенную длину?)

5. Теперь поместите конец циркуля в точку B и сделайте отметку вверх и до середины, пересекая место, куда пойдет точка C.

6. Отметьте пересечение как точку C.

7. Используя линейку, проведите первую сторону треугольника от A до B.

8. Снова, используя линейку, проведите вторую сторону треугольника от B по C.

9. Нарисуйте последнюю сторону. На этом мы закончили построение равностороннего треугольника.

Теперь мы сравним этот процесс с процессом, который можно использовать для построения равностороннего треугольника в GSP:

1. Начнем с рисования отрезка произвольной длины.Это будет одна из сторон нашего треугольника.

2. Обозначим точки A для левой точки и B для правой точки.

3. Теперь мы построим круг, используя точку B в качестве центра и точку A в качестве края.

4. Затем мы создаем еще один круг, используя точку A в качестве центра и точку B в качестве края.

5. Строим их пересечение и маркируем его точкой C.

6. Строим отрезок AC.

7. Строим отрезок ВС.

8. Если мы скроем наши круги, у нас теперь есть равносторонний треугольник.

1. Почему эти конструкции работают?

2. Что делает этот треугольник равносторонним в любой из сред?

3. Теряем ли мы что-то или получаем что-то, если мы учим студентов делать это, используя один, другой или оба средства?

1 (и часть 2). В классе мы обсуждали, что эти равносторонние треугольники работают, потому что две окружности, которые построены, или отметки из двух окружностей, мы увидим, что сегменты треугольника являются радиусами окружностей. Если круги одинакового размера, то радиусы одинакового размера и их положение таково, что они пересекаются в трех точках (центры кругов и их пересечение).Вот диаграмма, которая может помочь:

Мы начали с одного круга и построили два радиуса. Затем мы отразили круг поперек линии, чтобы получилось два круга.

Мы выберем один круг и объединим его с другим, чтобы показать, как радиусы образуют равносторонний треугольник.

По мере приближения мы видим, что радиусы образуют треугольник.

Поскольку круги слились и теперь имеют общие радиусы, образующие основу, мы можем видеть, что, поскольку все радиусы равны, если они перекрываются, образуя основание, а два других соединяются наверху, мы должны иметь равносторонний треугольник.

Остальные части 2. Мы видели, что составляет равносторонний треугольник в GSP, но что касается конструкции из карандаша и бумаги, мы видим, что они такие же, но вместо того, чтобы использовать круги, чтобы показать конгруэнтность радиусов, компас (открытость которого остается постоянной) используется для создания конгруэнтных радиусов.

3. Мы можем немного потерять конструкцию из карандаша и бумаги, потому что круги полностью проиллюстрированы в GSP, а с карандашом и бумагой мы видим только дуги кругов, а равномерное расстояние, созданное компасом, скрыто.Однако я считаю, что оба типа конструкций полезны для того, чтобы у учащихся было более полное представление о конструкциях.

Давайте посмотрим, как построить квадрат. Снова начнем с построения с помощью циркуля и линейки:

1. Мы отмечаем точку A, устанавливаем наш циркуль на определенную длину и делаем отметку. Нам нужно сохранить эту длину, поэтому не теряйте ее.

2. Мы отмечаем точку на отметке компаса, B.

3. Затем мы проводим прямую линию через точку A и точку B.

4. Используя циркуль при текущей настройке, сделайте отметку слева от точки A и справа от точки B.

5. Если мы хотим сделать квадрат, нам нужно построить перпендикулярные линии, идущие вверх от точек A и B. Итак, для этого нам нужно немного удлинить циркуль от нашей произвольной длины. Затем мы размещаем точку на самом левом пересечении и делаем дугу, как показано выше. Затем мы помещаем конец циркуля в точку B и делаем еще одну дугу вокруг точки A, чтобы они пересекались, как показано на рисунке.Повторите этот процесс, чтобы сделать аналогичные дуги вокруг точки B. Начните с точки циркуля на точке A и сделайте дугу вокруг B. Затем поместите точку циркуля на крайнее правое пересечение и сделайте дугу, соединяющуюся с другим. , охватывая точку B.

6. Сначала сделайте две отметки над точками A и B, используя исходный циркуль произвольной длины. Это будет означать высоту квадрата. Он будет точно такой же длины, как и от A до B, поэтому он будет квадратным.Далее нам нужно выяснить, где будет вершина квадрата. Вот почему мы сделали дуги. Используя линейку, проведите линию от A вверх через две дуги вокруг A и пересеките ее с отметкой сверху. На иллюстрации показано, как это могло теперь выглядеть.

7. Теперь мы закончим построение, проведя перпендикулярную линию вверх от B до отметки и обозначив эту точку пересечения C. Наконец, мы соединяем точку D и точку C, чтобы закончить квадрат.

Теперь проиллюстрируем, как можно построить квадрат, используя GSP:

1.Постройте отрезок произвольной длины.

2. Постройте круг, используя A как центр и B как край. В верхней части круга мы отметили расстояние, такое же, как и от A до B.

3. Итак, теперь мы строим перпендикулярную линию через A к отрезку AB. Пересечение этой линии через вершину круга мы обозначим точкой D.

4. Построим перпендикулярную линию через точку D к прямой AD.

5. Затем мы строим еще одну перпендикулярную линию, на этот раз через точку B к прямой AB.

6. Обозначим эту точку C.

7.Если мы скроем объекты, которые помогли нам в строительстве, мы получим построенный квадрат ABCD.

Комментарий:

Кажется, что причина, по которой это работает, аналогична объяснению равностороннего треугольника. Вот несколько эскизов:

Здесь мы имеем тот же тип конструкции, что и у треугольника. Теперь наши радиусы перпендикулярны и одинаковой длины. Это похоже на атрибуты квадрата.

Теперь мы выбираем две точки на одном круге и объединяем их с другим.

Как только они объединятся, мы увидим квадрат. Просто соединяем верхние точки и у нас будет наш квадрат.

Теперь обратим наше внимание на построение пятиугольника с помощью циркуля и линейки. Сначала я понятия не имел, как это сделать, поэтому мне пришлось использовать Интернет. Есть много разных способов построить пятиугольник. Основное внимание в этом эссе уделяется тому, чтобы показать, как это сделать, и обсудить, почему этот подход работает.Что за математика стоит за этим?

1. Пятиугольник состоит из круга. Каждая из вершин будет пересекаться с краем круга. Итак, сначала строим круг с помощью циркуля. Далее мы проводим линию по центру круга, разделяя его пополам.

2. Нам нужно построить еще одну линию, разделяющую левую половину круга пополам. На рисунке мы сделали это, разделив пополам угол 180 градусов, идущий вниз по середине круга.Для этого выставляем компас на определенную точку открытия. Мы помещаем конец циркуля в центр круга и делаем отметки на обоих лучах на произвольном расстоянии друг от друга. Затем мы помещаем конец циркуля в сделанные отметки и делаем еще одну отметку в области, где будет проходить деление угла пополам. Создает X, пересечение которого — это то место, где должен пройти луч круга. Проведите линейкой биссектрису угла.

3.Следующая цель — построить середину отрезка, который мы только что нарисовали. Для этого мы открываем компас на произвольное расстояние, которое чуть больше, чем приблизительная средняя точка сегмента. Помещаем конец циркуля в центр круга и делаем отметку дуги как на картинке. Затем мы сохраняем измерение компаса как есть и помещаем точку компаса на пересечение сегмента и края круга и делаем аналогичную отметку. Если компас открыт достаточно далеко, дуги должны пересекаться, как показано.Если эти новые пересечения соединены, пересечение обоих сегментов является средней точкой сегмента.

4. Затем соедините середину найденного сегмента с вершиной круга и с пересечением разделительной линии и края круга. Наша следующая цель — разделить пополам угол, образованный отрезком, от центра к краю и средней точки к краю, как показано на рисунке. Используем те же методы, что и в начале.Раскрываем циркуль на произвольную длину, которая меньше длины отрезков угла. Поместив острие циркуля в вершину угла, делаем отметки на отрезках угла. Затем мы немного закрываем циркуль и помещаем его конец на сделанные нами отметки и делаем новые отметки в направлении центра угла. Эти отметки должны пересекаться под биссектрисой угла. Проведена линия биссектрисы угла от вершины угла через точку X до линии, разделяющей круг на две равные части.(На самом деле, как показано на следующем рисунке, вам нужно продлить биссектрису угла за вертикальную линию.)

5. Следующая цель — построить линию, параллельную горизонтальному сегменту, в точке пересечения вертикального сегмента и биссектрисы угла. Это можно сделать, поместив конец циркуля в вершину угла, разделенного пополам, и отметив угол дугой, как показано. Там, где биссектриса угла пересекает вертикальный сегмент, поместите точку циркуля и сделайте еще одну дугу, как и раньше.Затем мы открываем компас ровно настолько, чтобы переходить от углового сегмента к угловому сегменту на сделанной вами отметке. Затем сделайте еще одну отметку вниз от дуги, которую вы делаете выше, и это пересечение является точкой, где параллельная линия может быть проведена через пересечение биссектрисы угла и вертикальной линии. Давай, сделай так.

6. Соедините точку пересечения нового сегмента и края круга с верхним пересечением вертикальной линии и края круга, и мы построили первую сторону нашего пятиугольника.

7. Теперь нам нужно повторить весь этот процесс, чтобы построить еще три стороны. Четвертую сторону можно соединить с пятой, не делая конструкции. Однако мы все равно делаем его, чтобы убедиться, что фигура построена правильно. Теперь нам просто нужно определиться, с чего начать. Поскольку мы построили сторону, начинающуюся сверху и наклоненную вниз влево, мы делаем наш сегмент, проходящий через центр круга, начиная с последней точки, которую мы только что построили.

8. Повторим этот процесс в другой раз.

9. Повторяем этот процесс еще раз.

10. Теперь мы закончим построением последней стороны, хотя в этом нет необходимости. Теперь у нас есть пятиугольник ABCDE.

Мне также любопытно, что есть математические побочные продукты построения пятиугольника, которые можно наблюдать.Это большой круг на внешней стороне конструкции, прежде чем мы его скроем. Кроме того, внутри пятиугольника есть небольшой круг, если дуги, определяющие середину сегмента, были немного более согласованными. Внутри большого тоже есть маленький пятиугольник. Однако регулярно ли это? Это пропорционально большому пятиугольнику? Если бы конструкция была нарисована идеально, был бы маленький пятиугольник правильным? Означает ли это, что большой пятиугольник не совсем правильный?

Теперь мы покажем этот же процесс с помощью GSP:

1.Строим круг произвольной длины. Затем мы проводим линию по центру круга.

2. Затем мы строим перпендикулярную линию к вертикальной линии, проходящей через центр круга. Мы делаем отрезок с линией, которую только что создали, от центра к левому краю. Затем мы строим середину этого отрезка.

3. Оттуда мы проводим линию, соединяющую среднюю точку с вершиной круга.Это создает угол, а затем мы строим биссектрису угла.

4. Мы строим линию, параллельную предыдущей горизонтальной линии, и пересечение новой линии с краем круга является точкой для создания первой стороны нашего пятиугольника. Теперь рисуем эту сторону. Этот процесс будет повторяться с разными цветами, начиная с боковой точки, которую мы только что построили.

5.Теперь повторяем этот процесс для второй стороны бордового цвета.

6. Повторяем этот процесс еще раз с оранжевым.

7. Мы повторяем этот процесс с розовым или темно-синим цветом, каким бы он ни был. На этом этапе мы можем просто соединить последние две стороны, но, поскольку меня интересовала внутренняя геометрия, я повторил процесс еще раз, чтобы посмотреть, поможет ли точность GSP.

8. Кажется, что в середине этого сооружения происходит много всего. Однако пятиугольник, который, как я думал, находится прямо внутри, не так идеально расположен, как я думал.

9. Если мы скроем все тонкие линии, мы увидим наш пятиугольник.

Вопрос:

Почему это работает?

Ответ:

В классе мы обсуждали использование золотого сечения.В пятиугольнике,

отношение длины красной диагонали к длине стороны равно специальному числу.

Мы будем использовать эту демонстрацию, чтобы показать, как конструкция выше представляет собой пятиугольник. Теперь сделаем круг радиуса с одной стороной единицы длины:

Затем мы наклеили несколько ярлыков, чтобы облегчить обсуждение:

Во-первых, мы замечаем, что треугольник ABF похож на треугольник AEB .На основании этого можно сделать вывод, что:

Тогда через подстановку получаем:

Что дает:

Мы знаем, что фи — это золотое сечение. Таким образом, мы имеем утверждение, что отношение длины диагонали правильного пятиугольника к длине его стороны есть золотое сечение. Теперь посмотрим на нашу конструкцию:

Чтобы обсудить, почему эта конструкция представляет собой пятиугольник, мы используем указанные выше метки.Наша цель — доказать, что отношение диагонали пятиугольника (EF) к стороне (AE) равно фи или золотому сечению, тогда фигура оказывается пятиугольником. Конструкция, изображенная выше, является той же конструкцией, которую мы использовали, за исключением того, что я построил сегмент EO, чтобы облегчить вычисление EF.

Я начинаю с того, что нам дано, что отрезки AO, BO и EO имеют длину 2 единицы. Сегменты BC и CO имеют длину одну единицу, потому что C является средней точкой BO. Если AO равно 2, а CO равно единице, то AC:

Теперь мы можем найти угол ACO с помощью тригонометрии.Следовательно, угол ACO равен:

Таким образом, угол DCO равен половине этого, по определению:

Сегмент DO / 1 равен:

Поскольку мы знаем, что EO равно 2, мы используем теорему Пифагора, чтобы найти ED. Таким образом, ED ² + DO ² = EO ². Итак, имеем:

Следовательно, ED =

Мы умножаем это выражение на 2, чтобы получить длину EF.Итак, EF =

Мы на полпути к нашей цели. Помните, что мы рассчитываем соотношение длины стороны нашей фигуры к длине диагонали. У нас есть диагональ EF. Теперь мы ищем длину стороны, скажем AE. Мы планируем использовать теорему Пифагора, чтобы найти AE. Мы будем использовать уравнение AE ² = ED ² + AD ². Мы знаем ED и можем найти AD с выражением 2 — DO. Следовательно, решаем:

Когда мы находим AE и используем наш калькулятор для десятичного приближения, мы получаем AE = 2.35114100917. Десятичное приближение для EF = 3,80422606518. Тогда EF / AE = 1,61803398875. Десятичное приближение для золотого сечения — это то же самое, что и мое приближение для EF / AE. Следовательно, эта конструкция дает правильный многоугольник.

Теперь перейдем к разделу о построении шестиугольника с линейкой и циркулем:

1. Начнем с построения круга произвольного размера.

2. Делаем отметку на краю круга с правой стороны.Сохраняя исходный произвольный размер компаса, мы помещаем точку циркуля на эту отметку и отмечаем пересечения круга сверху и снизу.

3. Теперь мы рисуем диаметр круга от верхнего пересечения кругов через центр и продолжаем через противоположный край внизу с помощью нашей линейки.

4. Проделаем то же самое на противоположном перекрестке.

5.Теперь мы можем приступить к построению сторон шестиугольника. Наша первая сторона идет от отмеченной нами правой точки до верхнего пересечения круга.

6. Наша вторая сторона соединяет верхние перекрестки. Но подождите, куда пойдет наша третья сторона?

7. Мы делаем нашу третью сторону, строя линию, соединяющую отметки центров наших двух кругов. Если мы продолжим эту линию через другую сторону, у нас будет пересечение слева, которое отмечает точку, где наша третья сторона закончится.Теперь мы можем построить эту третью сторону.

8. Мы рисуем четвертую сторону, начиная с только что созданного пересечения и заканчивая левым нижним пересечением.

9. Наша пятая сторона построена путем соединения нижних перекрестков.

10. Мы закончили конструирование сторон шестиугольника, соединив точки пересечения от правого нижнего до крайней правой отметки.

11.У нас есть шестиугольник!

Хм … Похоже, верх немного криво … Не знаю, почему так получилось. Мы снова спрашиваем, как эта конструкция дает шестиугольник. Связано ли это с умением создавать внутренние или дополнительные углы?

Мы выполняем этот процесс в GSP:

1. Сначала построим круг произвольного размера.

2. Затем мы строим горизонтальную линию от центра круга до края.

3. Затем мы строим еще один круг, используя край первого круга в качестве центра и центр первого круга в качестве края.

4. Затем мы строим линию через центр первого круга и верхнее пересечение обоих кругов.

5. Затем мы строим еще одну линию через центр первой окружности, которая проходит через нижнее пересечение окружностей.

6.Теперь мы готовы нарисовать стороны нашего шестиугольника. Первая сторона начинается от нижнего пересечения обоих кругов и идет к центру второго круга.

7. Вторая сторона идет от нижнего пересечения двух кругов до нижнего пересечения первой линии, которую мы нарисовали, и первого круга.

8. Третья сторона идет от нижнего пересечения первой окружности и первой линии до левого пересечения горизонтальной линии и первой окружности.

9. Четвертая сторона идет от пересечения первой окружности и горизонтальной линии до верхнего пересечения первой окружности и второй линии.

10. Пятая сторона идет от верхнего пересечения первого круга и второй линии до верхнего пересечения обоих кругов.

11. Шестая сторона соединяет пятую сторону с первой стороной, и у нас есть шестиугольник.

12.Когда мы скрываем линии и помечаем вершины, мы получаем чистое изображение нашего построенного шестиугольника.

Теперь мы подошли к вопросу о том, как построить семиугольник. Невозможно построить идеально правильный семиугольник, используя только линейку и циркуль, как мы делали раньше. Итак, мой вопрос: почему это так?

Поскольку это невозможно, я считаю, что сейчас самое время закончить это эссе.

Геометрия в искусстве и архитектуре Блок 5

Описание и требования

Книга

Библиография

Syllabus

Введение

Великая пирамида

Музыка сфер

Числовой символизм

Многоугольники и мозаики

Платоновы тела

Римская архитектура

Числовой символизм в средние века

Колесо фортуны

Небесные темы в искусстве

Истоки перспективы

Какая форма рамы?

Пьеро делла Франческа

Леонардо

Измерение фасада методом тригонометрии

Искусство начала ХХ века

Динамическая симметрия и спираль

Геометрическое искусство М.К. Эшер

Искусство геометрии более позднего двадцатого века

Искусство и компьютер

Хаос и фракталы

Многоугольники, мозаики,
и
сакральная геометрия

Слайд 5-1: мостовая Помпеи
Фотография Calter

В последнем блоке, Number Symbolism, мы видели, что в древнем мире некоторые числа имели символическое значение, помимо их обычного использования для подсчет или подсчет.

В этом разделе мы покажем, что плоские фигуры, многоугольников, треугольников, квадраты, шестиугольники и т. д. были связаны с числами (три и треугольник, например), мыслились аналогичным образом, а в на самом деле, они несли даже больший эмоциональный багаж, чем сами числа, потому что они были визуальными. Это переносит нас в царство Священных Геометрия.

А пока мы сделаем многоугольники, непосредственно связанные с пифагорейцами; в равносторонний треугольник (Священная тетрактис), шестиугольник, треугольные числа, и пентаграмма.Мы также познакомим вас с тайлингами, искусством покрытия плоскости. поверхность с многоугольниками.

Полигоны

Слайд 5-23: Дизайн в Помпеях

Фотография Calter

В последнем разделе, Number Symbolism , мы видели, что в древнем мира некоторые числа имели символическое значение, помимо их обычных использовать для подсчета или расчета. Но каждое число может быть связано с плоская фигура, или многоугольник (Тройка и Треугольник, для пример).

В этом блоке мы увидим, что каждый из этих многоугольников также имел символические значение и проявляется в художественных мотивах и архитектурных деталях, а некоторые могут быть классифицированным как сакральной геометрии.

Многоугольник — это плоская фигура, ограниченная прямыми линиями, называемая стороны многоугольника.

От греческого poly = много и угольник = угол

Стороны пересекаются в точках, называемых вершинами . Угол между двумя сторонами называется внутренним углом , вершиной или угол.

Правильные многоугольники

Правильный многоугольник — это такой многоугольник, у которого все стороны и внутренняя часть углы равны.

Полигоны против Поли грамм

Поли грамм можно нарисовать, соединив вершины угольника pol . Пентагон и пентаграмма, шестиугольник и гексаграмма, восьмиугольник и октограммы

Равносторонний треугольник

Слайд 5-2: Табличка в Афинской школе с изображением Тетрактиды

Bouleau

Конечно, существует бесконечное количество правильных многоугольников, но мы просто обсудите их со сторонами от трех до восьми.В этом блоке мы закройте только те, у которых есть 3, 5 и 6 сторон. Начнем с Самый простой из всех правильных многоугольников — равносторонний треугольник.

Священный Тетрактис

Этот многоугольник особенно интересовал пифагорейцев, потому что каждое треугольное число образует равносторонний треугольник. Один особенный треугольное число — это треугольное число для того, что они назвали декада, или десять, священный тетрактис.

Десять важны, потому что это, конечно, количество пальцев.В тетрактис стал символом пифагорейского братства. Мы это видели до этого в школе Афин.

Треугольные архитектурные особенности

Слайд 8-11: Окно церкви в Квебеке

В архитектуре треугольные окна распространены в церквях, возможно представляющий троицу.

Трискелион, Трилистник, Трикерта

Другие конструкции с тремя или тремя углами включают в себя трискелион .

Слайд 5-3: Греческий Трискелион: Победа и прогресс
Ленер, Эрнст. Символы, знаки и надписи. NY: Dover, 1950 с. 85

Слайд 5-4: Ирландские трискелионы из Книги Дарроу.
Met. Художественный музей. Сокровища раннего ирландского искусства. NY: Met. 1977 г.

Это дизайн, который мне так понравился, что я использовал его для одного из своих произведений.

Слайд 5-5: Мандала II, вырезанная Калтером

Фотография Calter

Слайд 5-6: Крупный план колеса

Фотография Calter

Плитка

Слайд 5-7: Плитка Помпеи с равносторонними треугольниками

Фотография Calter

Плитка или мозаика означает полное покрытие ровная поверхность плиткой.Есть всевозможные мозаики, некоторые из которых мы расскажем позже. А пока давайте сделаем простейший вид, называемый обычным мозаика, то есть мозаика из правильных многоугольников.

Это противоположно полурегулярным мозаикам , подобным показанному здесь тротуару Гетти.

Слайд 5-8: Тротуар Getty

Фотография Calter

Равносторонний треугольник — один из трех правильных многоугольников, выложенных плиткой. самолет.два других — квадрат и шестиугольник.

Шестиугольник и гексаграмма

Слайд 5-15: Тарелка со звездой Давида
Келлер, Шарон. Евреи: сокровищница искусства и литературы. НЙ: Левин доц. 1992 г.

Шестиугольные мозаики

Наш следующий многоугольник — шестиугольник, тесно связанный с равносторонним треугольником

Шестиугольник — излюбленная форма для мозаики, как в этих исламских конструкции, которые не являются обычными плитками, потому что в них используется более одной формы.

Слайд 5-9: Исламские узоры плитки
Эль-Саид, Иссам и др. Геометрические концепции в исламском искусстве. Пало-Альто: Сеймур, 1976. с. 54

Но, как мы видели, шестиугольник является одним из трех правильных многоугольников. сделать обычную черепицу.

Иллюзия

Шестиугольник иногда используется для создания иллюзии куба. соединяя каждую вторую вершину с центром, образуя три ромба, и закрашивая каждый бриллиант по-разному.

Слайд 5-10: Корзина

Фотография Calter

Слайд 5-11: Тротуар, Герцогский дворец, Мантуя

Фотография Calter

Шестиугольник в природе

Шестиугольник встречается в природе в сотах, а некоторые кристаллы, например, как базальт, ну и конечно же в снежинках.

Слайд 5-12: Снежинки

Bentley, W.A. Снежные кристаллы. NY: Dover, 1962.

Шестилепестковая роза

Шестиугольник популярен в архитектурном декоре отчасти потому, что он так легко рисовать. По сути, это ржаво-компасных конструкций, который можно было сделать вилкой.

Шесть кругов уместятся вокруг седьмого круга того же диаметра, разделяющего окружность на 6 равных частей, а радиус круга ровно делит окружность на шесть частей, давая роза шестилепестковая.

Слайд 5-13: Купол Моисея. Сан-Марко, Венеция
Демус, Отто. Мозаичное украшение Сан-Марко, Венеция. Чикаго: Университет Чикаго, 1988. № 60.

Шестиугольник против гексаграммы

Соединение чередующихся точек шестиугольника дает гексаграмму, шестиконечную звезда, обычно называемая Звезда Давида, найдено в флаге Израиля.

Слайд 5-14: Звезда Давида на Серебряной чаше из Дамаска.
Еврейский музей (Нью-Йорк, Нью-Йорк), Сокровища Еврейского музея. NY: Universe, 1986. стр. 61

Печать Соломона

Гексаграрн также называют печатью Соломона года. Джозеф Кэмпбелл говорит, что царь Соломон использовал эту печать, чтобы заключить в тюрьму монстров и великанов. в банки.

Слайд 5-17: Появление гениев.
Бертон, Ричард. Развлечения арабских ночей. Ипсвич: клуб ограниченных выпусков, 1954 год.

Большая печать США

Слайд 5-20: Печать на долларовой купюре

Фотография Calter

Гексаграм также можно рассматривать как два перекрывающихся пифагорова тетрактиса.

Джозеф Кэмпбелл пишет; На Большой печати США два этих взаимосвязанных треугольников. У нас есть тринадцать очков за наши исходные тринадцать состояний и шесть вершин: одно вверху, одно внизу и четыре в четыре четверти.Ощущение этого может быть тальфтом сверху или снизу, или в любой точке компаса можно услышать творческое слово, которое это великий тезис демократии.

— Сила мифа. стр.27

Шестиугольные конструкции в архитектуре

Шестиугольные конструкции распространены в древней архитектуре, такой как эта церковь. окно в Квебеке.

Слайд 5-22: Окно церкви в Квебеке

Фотография Calter

Этот чудесный дизайн находится в Помпеях.Он состоит из центрального шестиугольник, окруженный квадратами, равносторонними треугольниками и ромбами.

Слайд: 5-23. Дизайн в Помпеях Фото
Calter

Слайд 5-24: Дизайн Пизанского собора Фото
Calter

Эта гексаграмма — один из бесчисленных изображений Дуомо в Пизе.

Пентагон и Пентаграмма

Слайд 5-26: Пентаграмма из надгробия

Фотография Calter

Пентаграмма использовалась как знак приветствия Пифагорейцы, его конструкция должна была тщательно охраняться секрет.Сообщается, что Гиппократ Хиосский был изгнан из группа за разглашение конструкции пентаграммы.

Пентаграмма также называется Pentalpha, , потому что ее можно считать из пяти «А».

Конструкции Пентагона Евклидом

Евклид приводит две конструкции в Книге IV, как предложения 11 и 12. По словам переводчика Т.Л. Хит, эти методы, вероятно, были разработан пифагорейцами.

Средневековый метод строительства

Предположительно эта конструкция была одним из секретов средневекового масонского искусства. гильдии.Его можно найти в Bouleau p. 64.

Строительство Пентагона Дюрером

Другой метод строительства приведен в инструкции Duret в Измерение с помощью циркуля и линейки линий, поверхностей и Solids, «1525.

Это та же конструкция, что и в Geometria Deutsch, a. Немецкая книга прикладной геометрии для каменщиков

Золотое сечение в пентаграмме и пентагоне

Пентагон и пентаграмма интересны еще и тем, что загружены. с золотыми отношениями, как показано на стр.48.

Золотой Треугольник

Слайд 5-28: Эммер, пластина F3
Emmer, Michele, Ed. Визуальный разум: искусство и математика. Кембридж: MIT Press, 1993.

Золотой треугольник

Золотой треугольник

также называемый возвышенным треугольником, представляет собой равнобедренный треугольник, отношение Нога к основанию — это золотое сечение.

Это также равнобедренный треугольник, отношение основания которого к ноге составляет . это золотое сечение, поэтому существует двух типов : Тип I, острый, а тип II — тупой.

Пятиугольник можно разделить на два тупых треугольника и один острый золотистый треугольник.

Строительство Евклида

Евклид показывает, как построить золотой треугольник. В Книге IV, Предложение 10 говорится: «Чтобы построить равнобедренный треугольник, каждый из углов основание двойника оставшегося «.

Плитка Пенроуза

Слайд: 5-27: Мозаика Пенроуза.

Каппрафф, Джей. Связи: геометрический мост между искусством и Наука. NY: McGraw, 1990. стр. 195

Одно место, где появляется золотой треугольник, — это плитка Пенроуза, изобретен Роджером Пенроузом в конце семидесятых. Любопытная вещь об этих плитках, они используют только два вида плиток и будут выложить плоскость без повторения шаблона.

Изготовление плитки Пенроуза Плитка Пенроуза состоит из двух видов плиток, называемых воздушных змеев и дротиков. Воздушный змей состоит из двух острые золотые треугольники и дротик из двух тупых золотые треугольники, как показано выше.
Слайд 5-29: крышка NCTM
Заключение
Итак, мы рассмотрели треугольник, пятиугольник и шестиугольник со сторонами 3, 5 и 6. Мы рассмотрим квадрат и восьмиугольник в следующем разделе.
Понятно, что эти фигуры, будучи наглядными, несли еще более мощную эмоциональный багаж, чем числа, которые они представляют.
В следующий раз мы снова поговорим о многоугольниках, в частности о треугольнике. Но я не буду тратить ваше время на какой-то незначительный и тривиальный факт о треугольнике, но покажет, что, согласно Платону, треугольники образуют основной строительный блок всей вселенной!
Чтение
Джозеф Кэмпбелл, Сила мифа, стр.25-29
Карл Юнг, Человек и его символы, стр. 266-285
Евклид, Elements, V2, стр. 97-104
Каппрафф, Connections, стр. 85-87, 195-197
Фишер , п. 92-94
Проекты
Вырежьте из бумаги круг, сложите на четверти по вертикали, затем снова по горизонтали, образуя сетку 4 х 4.
Отметьте окружность в месте пересечения сетки.Соедините эти точки различными способами, чтобы знакомые правильные многоугольники.
2
Все эти фигурки можно сложить
см. Магнус Веннингер, Математика Сквозное складывание бумаги
Сложите равносторонний треугольник методом NCTM
4
Постройте шестиугольник с помощью циркуля 8
Постройте шестиугольник, сложив бумагу, Метод NCTM 8
Постройте шестиугольник, сложив круг 8
Сделайте пентаграмму, вытягивая стороны пятиугольника или сделайте пентаграмму, соединив вершины пятиугольника 12
Постройте пятиугольник одним из Методы Евклида.Соедините вершины, чтобы получилась пентаграмма. 13
Постройте пятиугольник средневековым методом. Соедините вершины, чтобы получилась пентаграмма 14
Построить пятиугольник по методу Дюрера 14
Проверить в пятиугольник с использованием разделителей 14
Решите задачу пяти дисков, Huntley p. 45 14
Ставим один тип I и два типа 11 золотые треугольники вместе образуют пятиугольник 15
Постройте треугольник по методу Евклида 16
Создайте воздушный змей и дротик.Сделайте ксерокопии. Используйте их, чтобы сделать плитку Пенроуза. 17
| <- Пред. | Далее -> |
© Пол Калтер, 1998. Все права защищены. Дартмутский колледж.

Рисование линий и фигур с помощью Adobe Animate

Инструмент «Кисть» рисует мазки, похожие на кисть. Он создает специальные эффекты, в том числе каллиграфические. Выберите размер и форму кисти с помощью модификаторов инструмента «Кисть».

Animate масштабирует размер кисти пропорционально изменяющемуся уровню масштабирования рабочей области. Это позволяет вам легко рисовать, настраиваясь на любой уровень масштабирования, и предварительно просматривать свою работу во время рисования. Если вы хотите вернуться к более раннему поведению кистей по умолчанию, сохраняющему постоянный размер в пикселях даже при изменении уровня масштабирования рабочей области, необходимо снять флажок «Уровень масштабирования рабочей области» в инспекторе свойств кисти.

Если вы отключите флажок Уровень масштабирования рабочей области, размер кисти для новых мазков останется постоянным даже при изменении уровня увеличения для рабочей области.Таким образом, кисть того же размера кажется больше при меньшем увеличении рабочей области. Например, предположим, что вы установили увеличение рабочей области на 100% и рисуете с помощью инструмента «Кисть», используя кисть наименьшего размера. Затем вы меняете увеличение на 50% и снова рисуете, используя кисть наименьшего размера. Новый штрих, который вы рисуете, выглядит на 50% толще, однороднее и точнее без каких-либо не сужающихся концов, чем предыдущий штрих и (Изменение увеличения рабочей области не изменяет размер существующих мазков кисти.)

Используйте импортированное растровое изображение в качестве заливки при рисовании с помощью инструмента «Кисть». См. Раздел «Разделение групп и объектов».

Если к компьютеру подключен чувствительный к давлению планшет Wacom, измените ширину и угол мазка кистью. Этого можно добиться, используя модификаторы «Нажим» и «Наклон» инструмента «Кисть», а также варьируя давление на перо.

Модификатор «Нажим» изменяет ширину мазков кисти при изменении давления на перо. Модификатор «Наклон» изменяет угол мазков кисти при изменении угла наклона стилуса на планшете.Модификатор Tilt измеряет угол между верхним (ластиком) концом стилуса и верхним (северным) краем планшета. Например, если вы держите перо вертикально напротив планшета, наклон будет равен 90. Модификаторы давления и наклона полностью поддерживаются функцией ластика стилуса.

Примечание. На планшете параметры наклона и давления для инструмента «Кисть» работают только при использовании режима «Перо». В режиме мыши эти параметры недоступны.

Роспись стен с шестигранной головкой

Когда макет будет готов, пора приступать к рисованию.

Но перед тем, как взять кисть, вам, возможно, придется проделать еще немного подготовительной работы. Если у вас фактурные стены, я настоятельно рекомендую заклеить края ленты герметиком под покраску. Хотя это потребует дополнительных усилий, оно того стоит! Если края шестиугольников не четкие и прямые, фреска просто не будет выглядеть правильно.

Чтобы запечатать края ленты, нанесите немного герметика на каждый кусок ленты. Пальцем (в перчатке) или плоским шпателем разгладьте герметик по краю.Постарайтесь использовать как можно меньше герметика, чтобы область шестиугольника не стала слишком большой. Хотя он может быть окрашен, он имеет немного другую отделку, чем гипсокартон, и может выделяться после нанесения краски.

Если у вас плоские стены, герметизация краев не требуется, но все же может помочь создать четкие линии для ваших шестиугольников. В любом случае, если вы все же решите заделать края герметиком, дайте ему высохнуть в течение нескольких часов перед покраской.

Также не забудьте подготовить комнату так же, как и любой другой проект рисования.Уберите большую мебель, накройте пол и убедитесь, что у вас есть хорошая вентиляция.

Когда вы будете готовы рисовать, у вас есть несколько вариантов цветов. Вы можете сделать все шестиугольники одного цвета, но это не будет иметь большого значения.

Вы также можете сделать каждый шестиугольник своего цвета, что определенно добавит смелости стене. Однако, если у вас много шестиугольников, невозможно выбрать и купить много согласованных цветов.

Мы выбрали гибридный подход.Мы начали с выбора двух понравившихся цветов. В нашем случае приятный сине-зеленый оттенок, который сочетается с другими предметами в комнате, наряду с нейтральным серым тоном.

Мы начали с того, что закрасили пару нижних шестиугольников в серый цвет. На каждые 2-3 шестиугольника серого мы добавляем один сине-зеленого цвета.

По мере продвижения вверх, мы смешали базовые цвета с белой краской в другой банке, чтобы получить более светлые тона. Затем мы применили эти более светлые цвета к еще нескольким шестиугольникам.

Мы повторили это для остальных шестиугольников. Мы добавляли немного больше белой краски, чтобы осветлить цвета, а затем наносили ее на еще 2-3 шестиугольника, пока не достигли вершины.

Конечным результатом стал крутой градиентный эффект, очень хорошо сочетающийся с геометрией шестиугольников. Преимущественно серые тона красиво контрастируют с редкими всплесками сине-зеленого.

Иллюстративная математика

Поскольку правильный шестиугольник делит круг на шесть равных частей, а в круге 360 градусов, каждая сторона правильного шестиугольника должна охватывать хорду $ 60 $ градусов по окружности.Треугольник с вершиной $ O $ и двумя другими его вершинами на окружности $ C $ — равнобедренный треугольник, поскольку все радиусы $ C $ имеют одинаковую длину. Итак, если угол в $ O $ измеряет 60 долларов, два базовых угла должны также составлять 60 долларов. равносторонний треугольник. Чтобы построить наш шестиугольник, мы можем начать с отрезать $ OP $ и отсюда последовательно построить равносторонние треугольники.
Если мы нарисуем круг радиуса $ | OP | $ с центром в точке $ P $, он встретит обведите в двух точках $ C $, обозначенные на рисунке ниже $ Q $ и $ U $:
У нас есть $ | PO | = | PQ | $, поскольку оба являются радиусами окружности с центром $ P $ и радиус $ | OP | $.Мы также знаем, что $ | PO | = | QO | $, потому что оба радиусы окружности с центром $ O $ и радиусом $ | OP | $. Следовательно, мы имеем $$ | OP | = | PO | = | PQ | $$ а треугольник $ OPQ $ равносторонний. То же самое относится и к треугольнику. $ OPU $.
Если мы построим круг с центром $ S $ и радиусом $ | OS | $, как в части (a), находим следующую картину:
Рассуждения части (а) применяются, чтобы показать, что два треугольника $ ROS $ и Оба $ SOT $ равносторонние.Теперь объединяет $ POQ $, $ QOR $ и $ ROS $ образуют линию и таким образом складываются в 180 долларов за градусы. И $ POQ $, и $ ROS $ имеют Было показано, что углы составляют 60 долларов, и, следовательно, QOR $ также составляет 60 градусов. угол. Как и в части (а), треугольник $ QOR $ равносторонний. Одинаковый рассуждения применяются, чтобы показать, что треугольник $ TOU $ равносторонний. Мы можем теперь заключаем, что шестиугольник $ PQRSTU $ является правильным шестиугольником, поскольку каждый из его шесть сторон конгруэнтны радиусу окружности $ C $.
Шестиугольник $ PQRSTU $ состоит из шести равносторонних равносторонних треугольников, поэтому мы нужно найти площадь одного из этих треугольников.Мы сосредоточимся на треугольнике $ OPQ $. Пусть $ K $ — середина отрезка $ OP $:
Треугольник $ QKO $ конгруэнтно треугольнику $ QKP $ по SSS: $ OQ $ и $ OP $ — радиусы конгруэнтных окружностей, $ | QK | = | QK | $ и $ | OK | = | PK | $, поскольку $ K $ — середина отрезка $ OP $. Поскольку углы $ OKQ $ и $ PKQ $ совпадают и в сумме составляют 180 $ градусов они прямые углы. Таким образом, строки $ QK $ и $ OP $ перпендикулярны. У нас есть $ | OQ | = r $, поскольку это радиус окружность с центром $ O $ и радиусом $ r $.2, чуть менее 83 долларов площадь круга.

alexxlab

Разное

Как часто можно делать клизму грудничку: рекомендации педиатров

Разное

Почему новорожденный не спит ночью: 11 главных причин и способы решения проблемы

Разное

Как успокоить плачущего ребенка: 10 эффективных способов

Разное

Что нужно новорожденному на первое время: полный список необходимых вещей

Разное

Пеленки для новорожденных: виды, размеры и способы использования

Разное